zeigen dass abelsche Gruppe |
| 14.10.2010, 15:13 | IamMaverick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| zeigen dass abelsche Gruppe Zeigen Sie durch Nachrechnen der Gruppenaxiome, dass (R, +) und (R\{0},*) abelsche Gruppen sind. Meine Ideen: an sich ist klar, dass beides abelsche gruppen sind habs mir überlegt so zu zeigen: (x+y)+z = x+(y+z), was ja (G1) wäre, aber das kommt mir irgendwie komisch vor, weils ja klar is, dann wären natürlich noch die anderen 3 Axiome, die mir aber ähnlich komisch vorkommen^^ |
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| 14.10.2010, 18:35 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist erst einmal zu klären was du verwenden darfst. Natürlich sind das abelsche Gruppen, das ist trivial - sofern du schon weisst aus irgendeinem Grund dass in die Addition und die Multiplikation kommutativ sind. Also bleibt die Frage was du über weisst, bzw wie es eingeführt wurde. |
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| 14.10.2010, 21:35 | IamMaverick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe an sich ist nur, dass man durch Nachrechnen (was auch immer das genau bedeuten soll) der Gruppenaxiome (bei uns numeriert mit G1-G4) zeigen soll, dass (R,+) und (R\{0},*) abelsche Gruppen sind. Verwenden darf ich an sich nur die Gruppenaxiome, wirklich mehr haben wir auch noch nicht gemacht. Die trivialität ist das Problem, das ist an sich so trivial, dass ich nicht weiß, was ich da zeigen soll^^ |
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| 15.10.2010, 09:22 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die reellen Zahlen werden konkret definiert z.B. als Cauchyfolgen rationaler Zahlen modulo Nullfolgen, und dann kann man zeigen, dass sie eine reichhaltige algebraische Struktur haben (angeordneter Körper, der die rationalen Zahlen als kleinsten Teilkörper enthält) und auch interessante analytische Eigenschaften haben (Vollständigkeit, ...). Wenn man so konkret Mengen und Strukturen einführt, sollte man sich die Zeit nehmen, als Übungsaufgabe Teilstrukturen (hier z.B. abelsche Gruppen) nachzuweisen. Trivial ist die Aufgabe nur dann, wenn man bewiesen hat, dass für jeden Körper (K,+,*) die abelschen Gruppen (K,+) und (K\{0},*) vorliegen. |
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| 15.10.2010, 11:32 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das braucht man garnicht beweisen, denn das gehört zur Definition eines Körpers. |
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| 15.10.2010, 13:15 | IamMaverick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die reellen zahlen wurden in sofern eingeführt, dass wir die definition von mengen und teilmengen hatten und da wurden sie als beispiele genannt, in anderer art und weise wurden sie nicht eingeführt^^ |
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| 15.10.2010, 14:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist das Problem doch offenbar. Die rellen Zahlen als Menge sind da; niemand weiss, dass sie einen Körper bilden. Zeige die Gruppeneigenschaften von (R,+) und (R\{0},*). |
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| 15.10.2010, 15:14 | IamMaverick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie soll ich die zeigen? in dem ich einfach x,y,z € R und die verknüpfungen in die axiome einsetz? dann kommt fürs erste axiom son triviales zeug heraus: (x+y)+z = x+(y+z) und damit soll das erste axiom gezeigt sein? sonst hab ich nämlich überhaupt keine idee |
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| 15.10.2010, 15:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist eine reelle Zahl ? Ein x, y oder z, oder was ? Wie addiert man kleine lateinische Buchstaben ? |
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| 15.10.2010, 15:59 | IamMaverick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die reellen zahlen bestehen aus allen rationalen und irrationalen zahlen, ich weiß nur nicht worauf du hinaus willst. soll ich konkrete zahlen wählen? dann wärs aber nur für eine teilmenge gezeigt, deswegen die überlegung mit x,y,z als variablen. |
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| 15.10.2010, 16:19 | Quizzmaster42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[witz]
Komponentenweise. [/witz] Ne, Scherz beiseite; Anscheinend wollen die Aufgabensteller ernsthaft von einem, dass man --> Stimmt. hinschreibt. Die andere Möglichkeit wäre, probeweise Zahlen einsetzen und ausrechnen, aber ich glaube das wollen die wirklich nicht... Und für Algebra I braucht man auch soweit ich weiß keine Cauchy-Folgen... 
PS: Wikipedia sagt dazu: "Die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom definieren die reellen Zahlen." Quelle So gesehen, könnte man auch einfach die Körperaxiome auf die Gruppenaxiome runterbrechen... Aber ich vermute mal IamMaverick, Körper habt ihr noch nicht gehabt (zumindest nicht zum Zeitpunkt der Aufgabenstellung), oder? |
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| 15.10.2010, 16:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Axiome gelten jeweils "für alle" reellen Zahlen, deshalb ist mit Beispielen nichts gewonnen. In der Algebra läuft der Nachweis von strukturellen Eigenschaften (Axiome) immer darauf hinaus, dass man die definierenden Eigenschaften der beteiligten Elemente benutzt bzw. auf bereits bewiesene Sätze zurückführt. Peano-Axiome der natürlichen Zahlen definieren die natürlichen Zahlen, dann kann man die Assoziativität und Kommutativität in N zeigen. Die ganzen Zahlen definiert man (z.B.) als Differenzen von natürlichen Zahlen, beweist dann die Ringeigenschaften usw. Die rationalen Zahlen sind Brüche ganzer Zahlen, sie bilden einen Körper (Beweis durch Rückgriff auf die Definition von Addition und Multiplikation von Brüchen und die Sätze über ganze Zahlen). Die rellen Zahlen entstehen aus rationalen Zahlen ( ... hier musst du in deiner Vorlesungsmitschrift nachlesen, wie die Definition aussieht ! ), auf ihnen ist Addition und Multiplikation definiert (... wieder musst du in deiner Vorlesungsmitschrift nachlesen, wie die Definition aussieht ! ) , dann kannst du "beweisen" oder "nachrechnen", dass auch für alle reelle Zahlen die Gruppenaxiome gelten. |
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| 15.10.2010, 16:30 | IamMaverick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Körperaxiome hatten wir in Ana1, aber net in linA1^^ ich werds mal so versuchen und schaun was passiert, danke 
@ elvis: die reellen zahlen wurden bei uns in der vorlesung nicht explizit eingeführt, nur unter begriffen menge und teilmenge und da auch nur als Z in Q in R in C |
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| 15.10.2010, 16:36 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, Analysis ist der Schlüssel zu den reellen Zahlen, was denn sonst. Genau da werden sie definiert und genau da werden Addition und Multiplikation definiert und genau da wird gezeigt, dass sie einen vollständigen angeordneten Körper bilden. Jetzt Algebra: Körperaxiome, daraus folgt Gruppenaxiome. FERTIG. (so gesehen trivial) |
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