Komplexe Zahl

14.10.2010, 16:37

Thomas00

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Komplexe Zahl

Guten Tag, liebe Leute! smile

smile

Ich hätte eine klitzekleine Frage: Warum ist $\begin{eqnarray*} | z-i | = \sqrt{a^2+(b-1)^2} \end{eqnarray*}$ ?
(wenn z aus C ist)

Ich hätte eben folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} | z-i | = |a+bi-i| = |a+i(b-1)| = \sqrt{a^2 - (b-1)^2} \end{eqnarray*}$ , weil ja i^2 = -1..

Danke fürs auf den Fehler aufmerksam machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2010, 16:40

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl
betrachte komplexe zahlen als vektoren in der gausschen zahlenebene.

du bildest dann beim betrag der vektoren das innere euklidsche produkt.

14.10.2010, 16:44

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Ah - und weil es keine "negativen" Vektoren geben kann, wird der letzte Term auch addiert, und nicht subtrahiert?

14.10.2010, 17:15

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl

Zitat:

Original von Thomas00
Ah - und weil es keine "negativen" Vektoren geben kann, wird der letzte Term auch addiert, und nicht subtrahiert?

betrachte die zahl $\begin{eqnarray*} 3-4i \end{eqnarray*}$ , wir schauen uns den vektor an:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und berechnen den betrag des vektors:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5 \end{eqnarray*}$ .

sicherlich kann man das negative von vektoren bilden, dann gehen sie in die andere richtung, aber ihre länge ändert sich dadurch nicht......

erinnere dich an lineare algebra und das innere vektorprodukt, dann sollte es klar sein.

14.10.2010, 17:19

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Noch ne andere Frage:
Angenommen, es ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{2i -z}{1-iz} \end{eqnarray*}$ , wobei z aus C, also zB.: z = a +ib.
Nun sollen alle Punkte angegeben werden, für welche gilt: f(z) = z.

Die Frage, die ich nun habe, ist folgende: Ist es der falsche Ansatz, den Bruch "auszurechnen"? Das heisst also, für z = a+ib einzusetzten, den Bruch zusätzlich mit (1-b+i*a) (auf dem Nenner und Zähler) zu multiplizieren etc?
..da ich die Lösung nicht "einfach so" ablesen kann, zweifle ich ein wenig daran..

14.10.2010, 17:33

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl
du kannst das fast wie im reellen machen, also $\begin{eqnarray*} f(z)=z \Rightarrow \frac{2i-z}{1-iz}=z \end{eqnarray*}$ . das kann man nun nach z auflösen.

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15.10.2010, 12:58

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Könntest du kurz prüfen, ob das stimmt?
Ich bekäme dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{2i}{2-iz} = z \end{eqnarray*}$

Mich verwirrt etwas, dass verlangt wird, all jene komplexen Zahlen anzugeben, für welche f(z) = z gilt.
Oder müsste ich nun für z (a+ib) einsetzen?

15.10.2010, 13:03

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl

Zitat:

Original von Thomas00
Könntest du kurz prüfen, ob das stimmt?
Ich bekäme dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{2i}{2-iz} = z \end{eqnarray*}$

das ist nicht nach z aufgelöst, du hast auf der linken seite noch ein z stehen.

wenn du das richtig machst, hast du schon eine ergebnis in der form z=a+ib.

wie würdest du denn die nullstellen einer reellen funktion bestimmen, mach die rechenschritte, die du bisher unternommen hast mal vor.

kleiner tip: multipliziere zuerst beide seiten mit dem nenner des bruches.

15.10.2010, 14:09

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Das habe ich natürlich gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{2i - z}{1-iz} = z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2i - z = z(1-iz) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2i - z = z-iz^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2i = z-iz^2 +z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2i = z(1-iz+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2i}{2-iz} = z \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 14:28

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl
Das ist genausowenig nach z aufgelöst.

15.10.2010, 15:00

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Achso - man kann es so machen:

$\begin{eqnarray*} 2i = z(1-iz+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 2z -2i -iz^2 \end{eqnarray*}$

Man erhält dann für z:
$\begin{eqnarray*} z_1 = i \sqrt{3} -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2 = -i -i \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Korrekt so?

Das habe ich nun aber mit Hilfe eines Rechners gemacht - könnte man es auch ohne "ablesen"?

15.10.2010, 15:24

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl
Man kann auch z = a + b*i ansetzen. Dann bekommt man über den Vergleich von Real- und Imaginärteil 2 Gleichungen.

15.10.2010, 15:53

Hans A. Plast

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RE: Komplexe Zahl
Es würde auch so gehen:

$\begin{eqnarray*} 2i=2z-iz^2\Leftrightarrow -2=z^2+2iz \Leftrightarrow -3=(z+i)^2 \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 16:20

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Also den letzten Schritt versteh ich - aber wie kommst du von $\begin{eqnarray*} 2i = 2z - iz^2 \Leftrightarrow -2 = z^2 + 2iz \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 16:34

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl
Multiplikation mit i. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2010, 17:37

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Ahh..klar smile

smile

Frage: Wie würdet ihr das vereinfachen? :
$\begin{eqnarray*} z(2+i) = 1-5i \end{eqnarray*}$

15.10.2010, 20:37

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl
division von (2+i) und dann den nenner mit dem komplex konjugierten multiplizieren um die zahl in der form a+bi darzustellen.

15.10.2010, 23:14

Thomas00

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RE: Komplexe Zahl
Noch ne Frage (auch zum Thema komplexe Zahlen, weshalb es gut in diesen Thread passt).

Ich soll zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} \phi \in \mathbb R : cos \phi + i sin \phi \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt.
Ich habe hierzu folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} cos \phi + i sin \phi = \sqrt{cos^2 \phi + sin^2 \phi} = 1 \end{eqnarray*}$
woraus die Behauptung folgt.

Ist das korrekt so? Ich habe ein "seltsames" Gefühl, weil ich eigentlich nur die Definition angewendet habe..

18.10.2010, 08:34

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl
in deiner gleichung steht links eine komplexe zahl, rechts der betrag, so wäre es richtig:

$\begin{eqnarray*} | cos \phi + i sin \phi| = \sqrt{cos^2 \phi + sin^2 \phi} = 1 \end{eqnarray*}$ .

nun hast du gezeigt, dass alle zahlen der form $\begin{eqnarray*} cos \phi + i sin \phi \end{eqnarray*}$ den betrag 1 haben, warum liegen sie dann auf dem einheitskreis?

18.10.2010, 08:51

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl

Zitat:

Original von lgrizu
division von (2+i) und dann den nenner mit dem komplex konjugierten multiplizieren um die zahl in der form a+bi darzustellen.

Kleine Ergänzung: statt der Division kann man auch sofort die Gleichung mit dem komplex konjugierten von 2+i multiplizieren. smile

smile

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