Zahlefolgen

11.11.2006, 01:19

chris85

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Zahlefolgen

Sei $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ Betrachte für $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n > |x| \end{eqnarray*}$ die Zahlenfolgen.

$\begin{eqnarray*} E_n(x)= (1+ \frac {x} {n} )^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_n(x)= (1- \frac {x} {n} )^{-n} \end{eqnarray*}$

Zeige folgende Aussage:

(1) $\begin{eqnarray*} E_n(x)\leq F_n(x) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das angehen?

Beide Gleichsetzen oder was anderes damit versuchen?
Hat jemand einen Tipp?

11.11.2006, 03:24

Mathespezialschüler

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Hi!
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n}=\left(\frac{n-x}{n}\right)^{-n}=\left(\frac{n}{n-x}\right)^n=\left(\frac{n-x+x}{n-x}\right)^n=\left(1+\frac{x}{n-x}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hilft das ja.

Gruß MSS

11.11.2006, 12:05

fr1

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...
muss mich hier mal einklinken... was haben wir nun davon, wenn wir diese umformung gemacht haben...??? große fragezeichen auf meiner seite....
naja habe das mit dem grenzwert versucht aber hilft auch nichts

11.11.2006, 12:12

sqrt4

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Die Umformung hilft durchaus!!!

$\begin{eqnarray*} F_n(x)=(1+\frac{x}{n-x})\geq (1+\frac{x}{n})^n=E_n(x) \end{eqnarray*}$

zumindest wenn x>0 denn dann ist
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{n-x}>\frac{x}{n} \end{eqnarray*}$

Aber auch für x<0 gilt die Beziehung.(überlegen!!)

Für x=0 ergibt sich der gleichheitsfall

11.11.2006, 14:18

fr1

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...
wie sieht das nun bei (2) $\begin{eqnarray*} E_n(x)\leq E_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ aus?

also habe mal übrlegt. ich weiß nun dass die aussage stimmt, mein beweis dürfte aber etwas schwammig sein.
ich schreib mal wieweit ich kam...

habe $\begin{eqnarray*} E_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ zerlegt in zwei Teile:
$\begin{eqnarray*} E_{n+1}(x)=(1+\frac{x}{n+1} )^n *(1+\frac{x}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Der Teil der auf der rechten Seite der Ungleichung steht habe ich wiederum zerlegt in, so steht dann insgesammt da:

$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{n+x}{n}\bigg) ^n\leq \bigg[ \bigg(\frac{n+x}{n+1}\bigg) ^n+\bigg(\frac{1}{n+1} \bigg)^n \bigg]<br /> *\bigg[\bigg(\frac{n+x}{n+1}\bigg )+\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)\bigg] \end{eqnarray*}$

und hier sieht man ja dann dass es stimmt...
so aber denke dass es nicht reicht dass ich das nur sehe wie kann ich das besser zeigen?

11.11.2006, 14:19

chris85

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Wie kommt man denn auf diese Umformung? habe den Schritt nicht ganz verstanden.

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11.11.2006, 14:28

sqrt4

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Die Umformung von MSS??

Er hat nur Potenzgesetze verwendet und geschickt null addiert..

Edit: Was gemau verstehst du nicht??

11.11.2006, 14:48

chris85

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Ich verstehe nicht wie man von $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n-x}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$ kommt,und von dem auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n-x}\right)^n \end{eqnarray*}$ und von hier auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n-x+x}{n-x}\right)^n \end{eqnarray*}$ und von hier wiederum auf $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{x}{n-x}\right)^n \end{eqnarray*}$ . Kannst du mal zumindest ein zwischenschritt machen sodass ich es nachvollziehen kann?
Und was wiederum sagt mir die Umformung über den Lösungsweg?

11.11.2006, 14:52

chris85

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Von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n-x}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n-x}\right)^n \end{eqnarray*}$ vesteh ich ja, das ist ja prktisch nur die Umkehrfunktion oder? aber den rest kann ich nicht so richtig nachvollziehen

11.11.2006, 14:57

fr1

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gleicher nenner dann den kehrbruch dafür von ^-n auf n dann erweitert mit x und -x umgeformt und das wars

11.11.2006, 15:17

chris85

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Okay ich habe jetzt alles nachvollzogen. Doch was sagt mir das jetzt über den Lösungsweg?Wie kann ich weitermachen?

11.11.2006, 15:21

sqrt4

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hä???

Du schreibst die Umformung von MSS hin begründest ein wenig und fertig..

11.11.2006, 15:24

fr1

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wenn du die beiden ausdrücke En und fn jetzt mal direkt vergleichst
gibt es ja nur einen unterschied... nämlich das x/n und x/ (n-x)
und das musst du mal untersuchen wenn x>0, x<0 und x =0
ob dann immernoch gilt:
En(x) <= Fn(x)

hat mir jemand eine idee zu meiner umformung zu (2) ??

11.11.2006, 15:27

chris85

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Ich hab das jetzt einfach mal auf die beiden $\begin{eqnarray*} E_n(x) und F_n(x) \end{eqnarray*}$ angewendet,sodass:

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac {x} {n})^n = (\frac {n+x} {n})^n = (\frac {n} {n+x})^{-n} =(\frac {n+x-x} {n+x})^{-n} = (1- \frac {x} {n+x})^{-n} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (1- \frac {x} {n})^{-n} = (\frac {n-x} {n})^{-n} = (\frac {n} {n-x})^n = (\frac {n-x+x} {n-x})^n = (1+ \frac{x} {n-x})^n \end{eqnarray*}$

Komme ich damit weiter? Was muss ich jetzt tun?

11.11.2006, 15:56

chris85

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Okay,hab die Aufgabe jetzt gelöst! Hab eine Fallunterscheidung gemacht mit
für x < 0 , x = 0 , x > 0
Daraus folgt das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} E_n(x) \leq \leq F_n(x) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich dann aber zeigen:

$\begin{eqnarray*} E_n(x) \leq \leq E_n+1(x) \leq ... \end{eqnarray*}$

Für n jetzt n+1 einzusetzen und dann aus dem Ergebnis zu schließen,dass das auch für n+n gilt wäre wohl kein gültiger Beweis.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

11.11.2006, 16:50

fr1

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ein kleiner tipp bitte

11.11.2006, 17:24

chris85

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Also zu (1)
Nimm $\begin{eqnarray*} E_n(x) = (1+ \frac {x} {n})^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_n(x) = (1+ \frac {x} {n-x})^n \end{eqnarray*}$

dann mach eine Fallunterscheidung mit 3 Fällen $\begin{eqnarray*} ( x<0, x=0,x>0) \end{eqnarray*}$ und setzte für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} \in N \end{eqnarray*}$ ein.
So siehst du dann wann und ob $\begin{eqnarray*} E_n(x) <,=,> \end{eqnarray*}$ ist als $\begin{eqnarray*} F_n(x) \end{eqnarray*}$

Das gleiche kann man dann auch für $\begin{eqnarray*} E_n(x) \leq E_{n+1}(x) \leq ... \end{eqnarray*}$ machen.

Da bekommmt man auf diese Art und Weise auch eine logische und denke auch richtige Lösung heraus,ich weiß aber nicht ob das als Beweis zählt wenn man das mit den ersten paar Gliedern macht und daraus folgert dass es auch bis zum Ende fortlaufend so ist.

Könnte mir da jemand weiterhelfen???

11.11.2006, 18:02

fr1

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Re: ...

Zitat:

Original von fr1
wie sieht das nun bei (2) $\begin{eqnarray*} E_n(x)\leq E_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ aus?

also habe mal übrlegt. ich weiß nun dass die aussage stimmt, mein beweis dürfte aber etwas schwammig sein.
ich schreib mal wieweit ich kam...

habe $\begin{eqnarray*} E_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ zerlegt in zwei Teile:
$\begin{eqnarray*} E_{n+1}(x)=(1+\frac{x}{n+1} )^n *(1+\frac{x}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Der Teil der auf der rechten Seite der Ungleichung steht habe ich wiederum zerlegt in, so steht dann insgesammt da:

$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{n+x}{n}\bigg) ^n\leq \bigg[ \bigg(\frac{n+x}{n+1}\bigg) ^n+\bigg(\frac{1}{n+1} \bigg)^n \bigg]*\bigg[\bigg(\frac{n+x}{n+1}\bigg )+\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)\bigg] \end{eqnarray*}$

und hier sieht man ja dann dass es stimmt...
so aber denke dass es nicht reicht dass ich das nur sehe wie kann ich das besser zeigen?

kann mir das jemand als korrekt bestätigen??? Hilfe

Hilfe

11.11.2006, 19:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von chris85
Da bekommmt man auf diese Art und Weise auch eine logische und denke auch richtige Lösung heraus,ich weiß aber nicht ob das als Beweis zählt wenn man das mit den ersten paar Gliedern macht und daraus folgert dass es auch bis zum Ende fortlaufend so ist.

Natürlich ist das kein Beweis! Bei einem Beweis sollst du eine Aussage für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ zeigen und nicht nur für $\begin{eqnarray*} n=1,\ldots,10 \end{eqnarray*}$ oder ähnliches.

Zitat:

Original von fr1
$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{n+x}{n}\bigg) ^n\leq \bigg[ \bigg(\frac{n+x}{n+1}\bigg) ^n+\bigg(\frac{1}{n+1} \bigg)^n \bigg]<br /> *\bigg[\bigg(\frac{n+x}{n+1}\bigg )+\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)\bigg] \end{eqnarray*}$

Da verstehe ich weder, was das bringen soll, noch, wie man darauf kommt! Du hast anscheinend $\begin{eqnarray*} (a+b)^n=a^n+b^n \end{eqnarray*}$ angewandt. Dass das falsch ist, sollte klar sein, Bsp.:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\neq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a,b\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Ungleichung würde ich ähnlich wie hier beweisen. Du musst nur eben bei

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+x}{n}\right)^n}{\left(\frac{n+x-1}{n-1}\right)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

anfangen.

Gruß MSS

11.11.2006, 19:27

chris85

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Wie kann ich die Aussagen dann ohne einsetzten von Zahlenwerten beweisen? Ich habe keine Ahnung wie ich das schreiben kann. Mach mir bitte mal einen Anfang. Danke

11.11.2006, 19:35

Mathespezialschüler

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Ähm, hab ich schon ...

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Ungleichung würde ich ähnlich wie hier beweisen. Du musst nur eben bei

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+x}{n}\right)^n}{\left(\frac{n+x-1}{n-1}\right)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

anfangen.

Gruß MSS

11.11.2006, 21:54

fr1

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Ungleichung würde ich ähnlich wie hier beweisen. Du musst nur eben bei

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+x}{n}\right)^n}{\left(\frac{n+x-1}{n-1}\right)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

anfangen.

Gruß MSS[/quote]

muss man nicht statt n-1 n+1 schreiben?? zumindest kam dann bei mir das selbe raus wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+x}{n}\right)^n}{\left(\frac{n+x+1}{n+1}\right)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

oder habe ich einnen umformungsfehler und deines stimmt dann doch?

11.11.2006, 21:59

Mathespezialschüler

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Ich habe dort $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Das wäre dann hier $\begin{eqnarray*} \frac{E_n(x)}{E_{n-1}(x)} \end{eqnarray*}$ . Und es gilt:

$\begin{eqnarray*} E_{n-1}(x)=\left(1+\frac{x}{n-1}\right)^{n-1}=\left(\frac{n-1+x}{n-1}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

11.11.2006, 22:01

fr1

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ok gut ich habe den fall mit E_n+1 betrachtet danke dann stimmt meins wohl

aber ich habe echte probleme beim anwenden der bernoulli ungleichung

12.11.2006, 12:30

Julia.Bohlen

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$\begin{eqnarray*} F_n(x)=(1+\frac{x}{n-x})\geq (1+\frac{x}{n})^n=E_n(x) \end{eqnarray*}$

hast du bei dem ersten term nicht ein hoch n vergessen?

12.11.2006, 13:15

fr1

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Form das erstmal um:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}}=\frac{\frac{(n+1)^n}{n^n}}{\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}}}=\frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot \frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-1}}=\frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot \frac{(n-1)^n}{n^n}\cdot \frac{n}{n-1}=\left(\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\right)^n\cdot \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt in der linken Klammer noch ein wenig umformen und dann die bernoullische Ungleichung anwenden (Kennst du die?) .

Kennst du den binomischen Lehrsatz?

oke und wie funktioniert das nun mit der bernoulli ich raff das echt nicht bitte helft uns mal

12.11.2006, 14:13

fr1

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Hilfe

12.11.2006, 14:36

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n-1)}{n^2} = \frac{n^2-1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Die Bernoullische Ungleichung sagt:
Für x > -1 ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + n \cdot x \end{eqnarray*}$

EDIT: Aber warum kramst du einen 2 Jahre alten Thread raus?

12.11.2006, 14:38

Mathespezialschüler

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Wo kommst du denn nicht weiter? Ich hab dir doch schon einen Link gegeben, wo es prinzipiell die gleichen Umformungen sind.

Gruß MSS

edit: Hab die beiden Einträge mal hier eingefügt.

12.11.2006, 15:22

fr1

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$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+x}{n}\right)^n}{\left(\frac{n+x+1}{n+1}\right)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

hier bin ich angelangt dann habe ich eine umformung gemacht ähnlih wie im andern post (übrigens habe ich diese dortige umformung gut verstanden) und wollte das nun auf mein bsp beziehen aber darauf dann die bernoulli anwenden ist eiin problem weil ich die form der bernoulli nicht erreiche

12.11.2006, 15:26

fr1

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das umgeformt gibt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+x)^n}{n^n} *\frac{(n+1)^n}{(n+1+x)^n} *\frac{n+1}{n+1+x} \end{eqnarray*}$

aber das jetzt auf die form von bernoulli zu bringen versteh ich nich ganz

12.11.2006, 15:42

Mathespezialschüler

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Hmm, du solltest lieber $\begin{eqnarray*} \frac{E_{n+1}(x)}{E_n(x)} \end{eqnarray*}$ betrachten, sonst bringt die bernoullische Ungleichung nichts! Dann hat man:

$\begin{eqnarray*} \frac{E_{n+1}(x)}{E_n(x)}=\frac{(n+1+x)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^{n+1}}{(n+x)^{n+1}}\cdot \frac{n+x}{n}=\left(\frac{n\cdot (n+x+1)}{(n+1)(n+x)}\right)^{n+1}\cdot \frac{n+x}{n} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt in der großen Klammer ausmultiplizieren und dann versuchen, die Bernoulli-Ungleichung anzuwenden.

Gruß MSS

12.11.2006, 16:08

hab

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aber wenn ich da jetzt habe:

( (n^2 +nx +n) / (n^2 + nx + n+ x))^n+1 > n/ n+x

wie soll ich denn da sie bernoullische ungleichung anwenden? der term (n+1) kommt ja auf der rechten seite gar nicht vor?!

12.11.2006, 16:49

fr1

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ok das is nun klar aber ewgal wie der ausdruck aussieht wi steckt da jetzt bernoulli drin?

man könnte evtl den bruch (n+x)/ n zur 1 rüberholen?

12.11.2006, 16:56

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot (n+x+1)}{(n+1)(n+x)}=\frac{n^2+nx+n}{n^2+nx+n+1}=\frac{(n^2+nx+n+x)-x}{n^2+nx+n+x} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.11.2006, 16:56

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot (n+x+1)}{(n+1)(n+x)} = \frac{n^2+nx+n+x-x}{(n+1)(n+x)} = \frac{(n+1)(n+x)-x}{(n+1)(n+x)} = 1 - \frac{x}{(n+1)(n+x)} \end{eqnarray*}$

12.11.2006, 17:09

fr1

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naja danke dass ihr mir so helft das sind ja nur umformungen
und ihr habt beide das n+1 verschwinden lassen das wurde doch durch die multiplikation zu 2n+2 oder? und was ist mit dem restterm (n+x)/n

12.11.2006, 17:11

klarsoweit

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Heidinei. Es ging doch nur darum, den Bruch geschickt umzuformen. Nun setz das mal ein und dann Bernoulli anwenden.

12.11.2006, 17:26

fr1

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$\begin{eqnarray*} \bigg(1-\frac{-x}{(n+1)*(n+x)}\bigg)^{n+1}*\frac{n+x}{n} \end{eqnarray*}$

12.11.2006, 17:29

Mathespezialschüler

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Da ist ein Minus zuviel. Wende auf

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

die Bernoullische Ungleichung an!

Gruß MSS

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