wie geht die h-Methode

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14.10.2010, 18:46	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
wie geht die h-Methode Meine Frage: ich habe die funktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x^{3} + x- 1 \end{eqnarray}$ und soll da die h-methode anwenden.. h-methode: $\begin{eqnarray} \frac{f(x_{0}+ h )- f(x_{0}) }{x- x_{0} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also ich hätte mal so angefangen: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{3}(x_{0} + h ^{3}) + (x_{0} + h)- 1- \frac{1}{3} x^{3} + x- 1 }{h} \end{eqnarray}$
14.10.2010, 18:53	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten Summand im Zähler gehört der Exponent 3 außen an die Klammer! Die beiden rechten x sind natürlich auch x0.
14.10.2010, 18:55	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie geht die h-Methode h-Methode natürlich durch h geteilt sryy also dann hab ich das ausmultipliziert : $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{3}x_{0} ^{3} + 3x_{0} ^{3}h+ 3x_{0} h^{2} +h^{3}+ x_{0}+ h- 1- \frac{1}{3}x^{3}+ x- 1 }{h} \end{eqnarray}$
14.10.2010, 18:57	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
wie geht die h-Methode ja das war ein Fehler mit dem ersten summanden!! sry ah okay also sett ich bei dne rechten x für das x einfach ( x0+h) ?? oder nur x0 ??
14.10.2010, 19:01	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie geht die h-Methode ok dann ist es ganz rechts also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x_{0} ^{3} + x_{0} - 1 \end{eqnarray}$ ... dann kann ich och nur das $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x_{0} ^{3} \end{eqnarray}$ kürzen oder?
14.10.2010, 19:02	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Der 2. Summand ist falsch! Bitte auch beachten, daß vor f(x0) ein MINUS steht! Alle x im Zähler sind x0, schau auf die Formel der h-Methode!
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14.10.2010, 19:03	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte versuche deine Gedanken in einen Post zu quetschen. Es ist genügend Platz vorhanden Und weiter gehts, Herr Lehrer (warum eigentlich nicht mal registrieren? :P)
14.10.2010, 19:07	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h-methode WO ist ein Fehler beim 2. SUmmanden??? bei der ausmultiplizierten form? oder am Anfang??
14.10.2010, 19:14	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der 3. Summand richtig ist, nehme ich an, daß es beim 2. nur ein Flüchitigkeitsfehler ist und ich verrate, daß er 3x0²h heißen muß. Hoch zwei!
14.10.2010, 19:19	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h also müssen der 2. und der 3. summand hoch 2 sein??? nagut dann kürze ich das $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x_{0} ^{3} \end{eqnarray}$ raus oder? und dann muss ich irgendwas ausklammern oder? aber was? das x vielleicht?
14.10.2010, 19:25	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, der dritte Summand ist richtig! Mit meiner Bemerkung wollte ich nur sagen, daß du die binomische Formel soweit richtig angewendet hast, was ich an dem (richtigen!) 3. Summanden sehe, weswegen ich den Fehler im 2. Summanden guten Gewissens verraten konnte. Und nun zusammenfassen! (Die Summanden "kürzen" sich nicht, das ist was für Brüche; aber Summanden mit entgegengesetztem Vorzeichen heben einander auf!)
14.10.2010, 19:28	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte, du hast das MINUS im Zähler der Formel der h-Methode noch nicht beachtet, oder? Schreib' doch den Bruch, den du jetzt hast, noch einmal auf!
14.10.2010, 19:44	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h ja ich meinte das, dass sie sich aufheben... $\begin{eqnarray} 3x_{0} ^{2} + 3x_{0} ^{2} + h^{3} + x_{0} + h- 1+ x_{0}- 1 \end{eqnarray}$ so wärs ja dann... welches minus denn?
14.10.2010, 19:46	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: h h vergessen.. ich meinte: $\begin{eqnarray} 3x_{0} ^{2}h + 3x_{0}h^{2} + h^{3} + x_{0} + h- 1+ x_{0}- 1 \end{eqnarray}$
14.10.2010, 20:00	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} f(x_{0} +h)=\frac{1}{3} x_{0}^{3} +3x_{0}^{2}h + 3 x_{0}h^{2} +h^{3} + x_{0}+h-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_{0})=\frac{1}{3} x_{0}^{3} + x_{0}-1 \end{eqnarray}$ In der Formel der h-Methode steht aber vor dem f(x0) ein Minus. Stelle dir das f(x0) in einer Klammer vor, vor der ein Minus steht. Was ist zu tun?
14.10.2010, 20:02	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h wenn man die klammer auflöst dann drehen sich alle vorzeichen um ?
14.10.2010, 20:04	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »

14.10.2010, 20:08	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
f ah okkk!! ich rechne das dann gleich aus... also "darf" man auch eine klammer vor dem f(x0) machen? oder sich die nur denken?? oder dreht man sofort alle vorzeichen um??
14.10.2010, 20:14	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir das hilft, darfst du um das f(x0) noch eine Klammer machen. Vor dem f(x0) steht ein Minus. Da f(x0) aus mehreren Summanden besteht, muß bei jedem Summanden das Vorzeichen umgedreht werden. So, nun rechne mal...
14.10.2010, 20:32	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h okk... $\begin{eqnarray} 3x_{0} ^{2} h+ 3x_{0}h^{2} + h^{3} +h \end{eqnarray}$
14.10.2010, 20:38	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: h also das wär der schritt davor: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}x_{0} ^{3}+ 3x_{0} ^{2} h+ 3x_{0}h^{2} + h^{3}+x_{0} +h- 1- \frac{1}{3}x_{0} ^{3}- x_{0} + 1 \end{eqnarray}$ dann kürzen sich das $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x_{0} ^{3} \end{eqnarray}$ .. also heben sich auf.. und das $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ und die 1...
14.10.2010, 20:43	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Verflixt, ich habe einen Fehler gemacht und du hast ihn nicht bemerkt... Moment mal!
14.10.2010, 20:58	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
t ?? wo denn??? ich habe keinen bemerkt
14.10.2010, 21:07	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt wird's. Bitte entschuldige den Fehler; ich hoffe, du findest dich jetzt noch durch... Die zu untersuchende Funktion beginnt ja mit 1/3 x³. Wenn wir für x jetzt (x0 + h) einsetzen und damit 1/3 (x0 + h)³ bekommen, müssen wir ja jeden Summanden, der bei der Anwendung der binomischen Formel entsteht, mit 1/3 multiplizieren und nicht nur den ersten. Wenn du das noch einmal nachrechnen willst, siehst du, daß dder Zähler des Bruchs bis hierher lautet $\begin{eqnarray} x_{0}^{2}h + x_{0}h^{2} + \frac{1}{3} h^{3}+h \end{eqnarray}$ Nun ist ja dieser Term noch durch h zu dividieren (also jeder Summand). Dann erhält man ... ?
14.10.2010, 21:40	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Sache mal noch zu Ende zu bringen - ich muß jetzt gleich Schluß machen - und da ich dir zutraue, daß du die Division durch h packst: Nach der Division bleibt stehen $\begin{eqnarray} x_{0}^{2} +x_{0}h +\frac{1}{3}h^{2} +1 \end{eqnarray}$ Bei der h-Methode läßt man ja nun h gegen 0 gehen. Auch die beiden Summanden, die h enthalten, gehen gegen 0. Es bleibt also nur noch stehen $\begin{eqnarray} x_{0}^{2} +1 \end{eqnarray}$ Geschafft!
14.10.2010, 21:44	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h nachdem ich alles ausmultipliziert habe.. also der 2. schritt sozusagen nochmal extra mal 1/3 machen?? und dann kürzen? ja ich werde es mal versuchen...
14.10.2010, 21:48	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: h aber wieso eigentlich??? nahc dem 1/3 steht ja nich eine "große" klmmer, sondern nur eine.. aah also ab der2. klammer sozusagen also + (x0+h) -1 - 1/3x0³ ..... das muss ich ja dann nicht mehr mit 1/3 multiplizieren.. nur die ergebnisse von der 1. klammer? also dieses 3x0h² .... ok
14.10.2010, 22:02	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x_{0}+h)=\frac{1}{3} (x_{0}+h)^{3}+(x_{0}+h)-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3} (x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}h+3x_{0}h^{2}+h^{3})+x_{0}+h-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3} x_{0}^{3}+x_{0}^{2}h+x_{0}h^{2}+\frac{1}{3}h^{3} +x_{0}+h-1 \end{eqnarray}$
14.10.2010, 22:15	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muß jetzt abschalten - muß morgen 4.20 Uhr aufstehen!!! Falls du die Aufgabe nicht schon morgen brauchst, kann man ja später noch mal drüber "reden".
14.10.2010, 22:36	hallo123456123	Auf diesen Beitrag antworten »
h danke!! habs jetzt verstanden alles vielen dank!!
16.10.2010, 05:08	aleph_math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie geht die h-Methode L. "hallo123..", [Prolog: hab' erst gest. in Ö1(!) von dem Forum erfahren u. reingeschaut; dabei ist mir dieses Thema aufgefallen, da mir d. Ausdruck "h-Methode" nicht geläufig war. Auf'n 2. Blick ist es nichts anderes als eine "Grenzwert-Betrachtung", wie es bei uns hieß. Leider ist beim Antworten d. PC abgestürzt , jetzt muss ich halt von vorn anfangen ...] Nachdem Koll. "..Lehrer" d. praktische Rechng. erledigt hat, will ich (mehr) d. Hintergrund beleuchten, damit d. nächste Aufg. viell./hoffent. leichter fällt. Nat. folgt danach auch eine kompakte Lösung d. gestellten Aufg. Egal, wie man dazu sagt, d. Methode ist ein probater Weg, d. Ableitung (o. auch "Differentialquotient") einer Funktion, geschrieben $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{d}{dx} f(x) \end{eqnarray}$ (1), zu finden bzw. die Differenzierregel(n) zu beweisen. D. Ableitg. in jedem Punkt des Definitionsbereichs einer Fkt. $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist nichts anderes als d. Steigung d. Funktion in diesem Punkt, sagen wir $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Wie berechnet man jedoch d. Steigung ? Nun, bei einer Geraden ist das einfach: d. Steig. ist der Tangens d. Winkels zwi. Gerade u. Grundlinie (x-Achse). Nehmen wir 2 Punkte auf d. Geraden $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ & $\begin{eqnarray} (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} S_g = tan \alpha = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray}$ (2) D. "Witz" d. Methode hier ist nun, 2 Pkt. auf dem Fkt.-Graph zu nehmen, sie mit einer Geraden zu verbinden u. deren Steig. (vgl. (2)) zu berechnen. Wenn man dann den Abstand d. 2 Pkt. immer weiter verringert, ist im Endeffekt d. Steigung d. Geraden gleich der der Fkt. im gesuchten Pkt. Fertig! Also: nehmen wir 2 Pkt. d. Fkt. u. setzen sie in Gl.(2) ein; das ergibt: $\begin{eqnarray} S_g = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{eqnarray}$ (3) (d. "Differenzenquot."). Nennen wir nun d. Einfachheit halber $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ um, ersetzen $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x_0+h \end{eqnarray}$ u. erhalten: $\begin{eqnarray} S_g = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} =\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray}$ (4) (Daher wohl d. Name "h-Methode"). Wenn wir jetzt den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray}$ betrachten, stoßen wir allerd. auf ein Problem: Bekanntlich darf d. Nenner eines Bruches nicht 0 werden! Um den Grenzwert durchführen zu können, müssen wir also zuerst die Division durch $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ausführen, nat. ohne Rest. Je nach gegeb. Fkt. kann das mehr o. weniger aufwendig sein! Nach erfolgreicher Division biegen wir auch schon "in d. Zielgerade" ein, wie's im Sport heisst. Beim Grenzwert fallen alle Glieder, in denen $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ vorkommt, weg u. wir erhalten d. Steigg. im Pkt. $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f'(x_0) = \frac{d}{dx} f(x)\space \|x=x_0 \end{eqnarray}$ (5) (d. "Differenzialquot."). Wenn wir diese Prozedur für jedes $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ aus dem Def.-Bereich ausführen, ergibt d. Menge aller Steigg. letztlich d. Ableitung als neue Fkt. $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ mit dem selben Def.-Bereich, aber nat. anderem Wertebereich. Bei stetigen, also abschnittsw. monotonen Fkt. kann man sich d. explizite Prozedur f. jedes $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ auch sparen u. $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gleich durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ersetzen. Nun zurück zur vorgegeb. Fkt. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{3} x^3 + x-1 \end{eqnarray}$ . Nach Gl.(4) ergibt sich damit: $\begin{eqnarray} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\frac{\frac{1}{3}(x_0+h)^3+(x_0+h)-1 -(\frac{1}{3}x_0^3+x_0-1)}{h} \end{eqnarray}$ (6). Wegen des Minus vor der letzten Klammer (Summ. $\begin{eqnarray} f(x_0) \end{eqnarray}$ ) müssen alle Vorzeichen umgedreht werden, daher heben sich $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ u. $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ weg u. wir erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{3}(x_0+h)^3+h -\frac{1}{3}x_0^3}{h} \end{eqnarray}$ (7). Durch Ausmultipl. o. mittels d. Binom. Formel folgt weiter: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{3}(x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3)+h -\frac{1}{3}x_0^3}{h} \end{eqnarray}$ ; Auflösen & Zusammenfassen: $\begin{eqnarray} \frac{(\frac{1}{3}x_0^3+x_0^2h+x_0h^2+\frac{1}{3}h^3)+h -\frac{1}{3}x_0^3}{h} =\frac{x_0^2h+x_0h^2+\frac{1}{3}h^3+h}{h} \end{eqnarray}$ ; Zuletzt dividieren wir & erhalten: $\begin{eqnarray} {x_0^2+x_0h+\frac{1}{3}h^2+1} \end{eqnarray}$ (8). Jetzt können wir "gefahrlos" den Grenzwert bilden: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} (x_0^2+x_0h+\frac{1}{3}h^2+1) \end{eqnarray}$ ; alle $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ -Glieder fallen weg u. wir erhalten schließlich die Steigung $\begin{eqnarray} f'(x_0)=x_0^2+1 \end{eqnarray}$ (9). Was für $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gilt, gilt für d. gesamten Def.-Bereich (vgl. ob.) u. wir erhalten die allg. Ableitg. $\begin{eqnarray} f'(x)=x^2+1 \end{eqnarray}$ (10). Das ist übrigens dasselbe Ergebnis wie es die Differenzierregel f. Potenzen ergibt u. bestätigt das früh. Ergebnis von Koll. "..Lehrer" (q.e.d. = quod erat demonstrandum, wie d. Lateiner sagt ). Ich hoffe, d. Darstellung war nicht zu akademisch u. wünsche weiter viel Erfolg (viell. sogar Spass) mit Mathe. Stets gerne zu Diensten! aleph_math

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