Erzeugendensystem

14.10.2010, 20:10

marcusf

Erzeugendensystem

Hallo,
ich wurde schon wieder mit einer neuen Aufgabe überhäuft, wo ich keine AHnung habe, wie ich die lösen soll. Vielleicht kann mir jmd tipps geben.

1) Welche der folgenden Mengen sind linear abhängig und welche linear unabhängig?
$\begin{eqnarray*} M1= {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}} M2={\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}}, M3={\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}, M4= {\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}}, M5={\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, M6= {\begin{pmatrix} -4 \\ -2\\1\\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 8 \\ 4\\-2\\-18 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$
Wie kann ich das überprüfen?

2) Gegeben ist ein Erzeugendensystem der x1-x3 Ebene. $\begin{eqnarray*} M= [\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$
Geben Sie eine Basis B c M der x1-x3 Ebene an.

3) Wir betrachten den Vektorraum R³. Gegeben sind folgende Mengen. Geben Sie für jede Menge an, ob diese eine Basis R³, ein Erzeugendensystem R³ oder keines von beiden.
Wie kann ich das überprüfen?
$\begin{eqnarray*} M1= [\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M2= [\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Mein Problem bei der ganzen Sache ist, dass mir das alles so abstrakt vorkommt. Habe zwar die Definition von Erzeugemdensystem gelesen, aber nicht verstanden. M ist ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor v als Linearkombination dargestellt werden kann. was ist dann eine Linearkombination?

es wäre super, wenn mir jmd helfen könnte!

15.10.2010, 01:24

Cugu

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Zitat:

1) Welche der folgenden Mengen sind linear abhängig und welche linear unabhängig? Wie kann ich das überprüfen?

Naja, du musst bei $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ überprüfen, ob aus
$\begin{eqnarray*} a\cdot{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$
folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Mit anderen Worten heißt das, dass du prüfen musst, ob das homogene Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1\cdot a+4\cdot b-3\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a+2\cdot b-2\cdot c&=&0 \\ 1\cdot a+2\cdot b-1\cdot c&=&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
nur die triviale Lösung besitzt.

Tanzen

Ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist zunächst eine Menge von Vektoren, die eine gewisse Eigenschaft erfüllen.
Diese Eigenschaft ist, dass es für jeden Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ endlich viele Vektoren, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} m_1\in M,....,m_k \in M \end{eqnarray*}$ und reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_k \end{eqnarray*}$ gibt so, dass $\begin{eqnarray*} v=a_1m_1+...+a_km_k \end{eqnarray*}$ ist.
Die Summe $\begin{eqnarray*} a_1m_1+...+a_km_k \end{eqnarray*}$ heißt Linearkombination. D.h. du hast deine Vektoren $\begin{eqnarray*} m_j \end{eqnarray*}$ multiplizierst alle mit einer Konstanten und summierst dann.
Z.B. ist $\begin{eqnarray*} M= \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Wie kann man z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination schreiben?
Nun ganz einfach: $\begin{eqnarray*} 12\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\tfrac{3}{2}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\tfrac{5}{3}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Geben Sie für jede Menge an, ob diese eine Basis R³, ein Erzeugendensystem R³ oder keines von beiden. Wie kann ich das überprüfen?

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem und besteht aus linear unabhängigen Vektoren.
Du musst also wie in 1) auf lineare Unabhängigkeit testen. Bei der Frage, ob die Mengen Erzeugendensysteme sind, kann man möglicherweise mit der Dimension argumentieren.
Falls du das nicht darfst:
- Wenn du den Verdacht hast, dass eine Menge kein Erzeugendensytem ist, kannst du einen Vektor suchen, der nicht als Linearkombination dargestellt werden kann.
- Ansonsten versucht du zu zeigen, dass sich jeder Vektor als Linearkombination schreiben lässt. Das ist verhältnismäßig kompliziert.

-------
Die $\begin{eqnarray*} m_j \end{eqnarray*}$ sind Vektoren, d.h. du musst vermutlich Pfeile darüber machen...

15.10.2010, 16:48

marcusf

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hi,
genau so ein gleichungssystem habe ich auch aufgestellt und nach a,b,c aufgelöst. habe auch für alle 3 werte 0 rausbekommen. beim probieren habe ich aber gemerkt, dass auch a=-1, b=1,c=1 gehen würde. aber durch auflösen nach a,b,c nicht.
wenn ich das durhc zufall nicht gemerkt hätte hätte ich gedacht, dass die linear unabhängig sind.
wie kann ich denn rausfinden, ob es noch andere werte außer 0,0,0 für a,b, und c gibt?

15.10.2010, 17:28

Iorek

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Dann behaupte ich einfach mal, dass du dich verrechnet hast.

15.10.2010, 17:35

Cugu

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Wie hast du denn das lineare Gleichungssystem gelöst? Du hättest doch eigentlich merken müssen, dass es mehrere Lösungen gibt! Natürlich ist $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ immer eine Lösung, aber in diesem Fall nicht die einzige.

Vielleicht hast du dich irgendwo verrechnet. Vorzeichenfehler o.Ä.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1\cdot a+4\cdot b-3\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a+2\cdot b-2\cdot c&=&0 \\ 1\cdot a+2\cdot b-1\cdot c&=&0 \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1\cdot a+4\cdot b-3\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a+2\cdot b-2\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a-2\cdot b+2\cdot c&=&0 \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1\cdot a+4\cdot b-3\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a+2\cdot b-2\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a-0\cdot b+0\cdot c&=&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier sieht man doch schon, dass es keine Eindeutige Lösung gibt! Die Gleichung in der untersten Zeile ist immer erfüllt!
Du kannst also $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ frei wählen und dann $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der zweiten und schließlich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der ersten Zeile bestimmen.

15.10.2010, 20:10

marcusf

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mein problem ist zu erkennen, dass es noch weitere lösungen gibt. das verstehe ich irgendwie nicht. wenn ich jetzt wieder sone aufgabe bekommen würde, dann würde ich wieder 3 lgsaufstellen und diese jeweils nach a,b,c auflösen und ich würde wieder 0,0,0 rausbekommen aber wüsste nicht wie ich merke dass es noich weitere lösungen gibt.

16.10.2010, 16:24

Cugu

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Wenn du dir beim Lösen von Gleichungssystemen nicht sicher bist, dann würde ich an deiner Stelle stumpf nach Schema vorgehen, wie ein Computer.

Du bringst zunächst dein Gleichungssystem auf so eine rechte obere Dreiecksform, man könnte auch Stufenform sagen:
(Wenn du nicht weißt wie das geht, dann sag das, dann erkäre ich es dir!)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1\cdot a+4\cdot b-3\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a+2\cdot b-2\cdot c&=&0 \\ 0\cdot a-0\cdot b+0\cdot c&=&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Und nun überleg noch einmal, wann die unterste Zeile erfüllt ist! Setzt einfach mal für $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ein paar Mal beliebige Zahlen ein!
Im nächsten Schritt setzt du ein paar mögliche Werte für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in der zweiten Zeile ein und berechnest zugehörige Werte für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .
Und die Paare $\begin{eqnarray*} (b,c) \end{eqnarray*}$ setzt du dann in der ersten Zeile ein und berechnest die zugehörigen Werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

-------
Zur Lösung der Aufgabe ist das natürlich nicht nötig. Aber damit kannst du ein Gefühl für die Löungssräume von Linearen Gleichungssystemen gewinnen.
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Ein vereinfachtes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4\cdot b-3\cdot c&=&0\\ 0\cdot b+0\cdot c&=&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich wähle z.B. $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0\cdot b + 0 \cdot 1 = 0+0=0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Nun setzte ich $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ in der ersten Zeile ein und erhalte $\begin{eqnarray*} 4\cdot b - 3 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Also muss $\begin{eqnarray*} b =\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein.
Ich könnte auch $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ wählen, denn die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0\cdot b + 0 \cdot 2 = 0+0=0 \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls für alle $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ in der ersten Zeile einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} 4\cdot b - 3 \cdot 2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Also muss $\begin{eqnarray*} b =\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ sein.

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