ggT, Beweis |
14.10.2010, 20:17 | Wombat91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ggT, Beweis Vielen Dank! |
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14.10.2010, 20:38 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du könntest einmal aufschreiben wie ihr den ggT definiert habt oder welche Charakterisierungen du davon kennst. |
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14.10.2010, 20:43 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, ich würds mal so angehen: Sei x der ggT(a,b). Dann teilt x also sowohl a als auch b. Insbesondere folgt also, dass Nun bleibt zu zeigen, dass x auch der größte gemeinsame Teiler von (a-b) und b ist. Das könntest du per Widerspruch machen |
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14.10.2010, 21:21 | Wombat91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach so... Wenn also x a und b teilt, dann wäre ja:, d.h. und das würde bedeuten, dass x auch ein Teiler von a-b ist. Jetzt sollte ich noch zeigen, dass dieses x auch wirklich der ggT ist. Sei also ein y>x vorhanden, dann könnte man y als ein Vielfaches von x ausdrücken. sowie: Es muss aber auch gelten, dass . Ist das soweit richtig? Wie mache ich jetzt weiter? Entschuldigung, wegen meinem Unwissen, habe noch nie einen Widerspruchsbeweis geführt! Vielen Dank! |
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14.10.2010, 21:25 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
Das stimmt so nicht. Beispiel: 3 und 4 sind Teiler von 12, 4 ist größer als 3 aber es existiert keine natürliche Zahl n mit 3*n=4. Aber: Angenommen, es gäbe so ein y, welches a-b teilt. Zieh den Bruch mal auseinander und schau, was du über die beiden Teile sagen kannst. Denk dran, y müsste ja dann auch b teilen. |
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14.10.2010, 21:44 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine leichte Variation des Beweises, diesmal direkt: Wenn man nachweist, dass jeder gemeinsame Teiler von und auch ein gemeinsamer Teiler von und ist, und umgekehrt (!), dann ist man bereits fertig: Denn dann ist die Menge der gemeinsamen Teiler von und gleich der Menge der gemeinsamen Teiler von und , insbesondere sind dann auch die Mengenmaxima gleich. |
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15.10.2010, 09:53 | Wombat91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@kvnb: Stimmt! Hab mir das falsch überlegt! Das kann aber nicht sein, weil es kein b gibt, das y teilt? Stimmt das so? Danke schon mal! |
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15.10.2010, 13:05 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch. Laut Annahme ist y>x und y Teiler von (a-b) und b. Also folgt: Was kannst du dann über sagen? Und das steht im Widerspruch zu ? |
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15.10.2010, 16:10 | Wombat91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, ja Das wird ja vorausgesetzt. Es geht also wegen dem a nicht! Danke vielmals für eure Hilfe!!! |
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06.03.2015, 10:22 | ggT Guy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich komme beim allerletzten Schritt nicht weiter. Was kann man über sagen? Wozu steht das im Widerspruch? |
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