Komplexe Zahlen

15.10.2010, 12:35	Anna1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Hallo, wir arbeiten gerade mit komplexen Zahlen und ich bin noch nicht so ganz vertraut damit. Klar ist, dass $\begin{eqnarray} i^2=-1, i = \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ ist. Ich soll nun sagen, wieviele Lösungen $\begin{eqnarray} z^6=1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ hat und die Lösungen in der Form $\begin{eqnarray} z =x+iy \end{eqnarray}$ angeben. Dann soll ich die Lage in der komplexen Ebene skizieren und ein $\begin{eqnarray} p \in \mathbb C \end{eqnarray}$ finden, so dass jede Lösung eine Potenz von p ist. Nun, ich denke es gibt auf jeden Fall eine gerade Anzahl an Lösungen, ich denke 6, aber ich hab diese noch nicht alle gefunden. $\begin{eqnarray} z= 1+0i = -1 + 0i = 0-1i \end{eqnarray}$ aber wie finde ich die anderen?
15.10.2010, 12:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen zunächst einmal ist eine wurzel definitionsweise positiv, bleib lieber bei i²=-1... was weißt du denn über den fundamentalsatz der algebra? das sollte dir die frage beantworten, wie viele lösungen es gibt. und kennst du folgende zerlegung: $\begin{eqnarray} x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+....+x+1) \end{eqnarray}$ ? die könnte dir weiterhelfen.... und polynomdivision hilft auch. immerhin kann man zwei nullstellen von $\begin{eqnarray} z^6-1 \end{eqnarray}$ "sehen"
17.10.2010, 12:59	Anna1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungen 1 und -1 hätte man auch so sehen können. Laut Derive kommen noch $\begin{eqnarray} z=\pm \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}i }{2} \end{eqnarray}$ Somit hätte ich die sechs Lösungen, aber kann noch nicht ganz zeigen wie ich auf diese komme. Ich hab noch eine etwas andere Zerlegung: $\begin{eqnarray} z^6-1=(z^2-1)(z^4+z^2+1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (z^2-1)=0 \end{eqnarray}$ bekomme ich die Nullstellen $\begin{eqnarray} Z=1, z=-1 \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} (z^4+z^2+1) \end{eqnarray}$ nutze ich $\begin{eqnarray} x^2=z \end{eqnarray}$ dann sind Lösungen $\begin{eqnarray} x=\frac{-1\pm \sqrt{-3} }{2} = \frac{-1\pm \sqrt{3}i }{2} \end{eqnarray}$ aber das sollten doch laut Derive die Lösungen für z und nicht für z² sein Was mach ich da falsch?
18.10.2010, 08:31	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
mach doch einfach mal die probe, setz die zahlen ein und schaue, was herauskommt.

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