Statistik: Konfidenzintervall bei kleiner Grundmenge

15.10.2010, 12:45

radiohead3

Statistik: Konfidenzintervall bei kleiner Grundmenge

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} p\pm 1.96*\sqrt{\frac{p*(1-p)}{n}} \end{eqnarray*}$

Dies ist ja für alle Arten von Grundmengen gültig solange die Stichprobengrösse grösser als 50 ist.

ABER:
Wenn man annimmt, dass BV=1000 Leute an einem Fest sind und man eine eine Befragung macht, welche mit Ja oder Nein beantwortet werden kann. (Bsp: Finden sie die Beleuchtung an diesem Fest schön?)
Man befragt n=200 der BV=1000 Gäste und der Anteil der Ja-sager ist bspw. 0.3
Dann müsste man ja laut formel einfach rechnen:

$\begin{eqnarray*} 0.3\pm 1.96*\sqrt{\frac{0.3*(1-0.3)}{200}} \end{eqnarray*}$ =95%KI=(.2365,.3635)

Das heisst das Intervall (.2365,.3635) deckt zu 95% den wahren Anteil ab.

Wenn man die Stichprobe nun erhöht auf Beispielsweise 600
dann ergibt es in die Formel eingesetzt ein kleineres Intervall nämlich:
(.2633,.3367)
Dies ist ja auch logisch, da mehr leute gefragt wurden und es somit genauer ist.

Wenn man n aber immer weiter erhöht, bis es bei 1000 angelangt, was ja der BV entspricht, dann sieht man, dass die Formel nicht mehr richtig ist. Eingesetzt würde es nämlich einen Intervall von (.2716,.3284) geben.

Aber das stimmt ja nicht mehr, denn der ermittelte Wert von 0.3 stimmt ja hier zu 100% da man eine Vollerhebung durchgeführt hat.

Mir scheint es als ob man die Formel nur anwenden darf, wenn die zu Grunde liegende Bevölkerung unendlich gross ist.

Wie muss man denn vorgehen, wenn die Bevölkerung nicht unendlich gross ist?
Wenn man beispielsweise 80% aller Gäste befragt?

Meine Ideen:
Ich denke es muss etwas sein, das mehr mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun hat. Wie man aber vorgehen muss weiss ich leider nicht.

15.10.2010, 13:42

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von radiohead3
Mir scheint es als ob man die Formel nur anwenden darf, wenn die zu Grunde liegende Bevölkerung unendlich gross ist.

Im Grunde genommen hast du Recht. Solange die Gesamtanzahl aber deutlich größer als die Stichprobenanzahl ist, kann man das trotzdem als akzeptable Näherung verwenden.

"Deutlich größer" ist natürlich nebulös, bei 1000 vs. 600 würde ich jedenfalls nicht mehr davon sprechen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von radiohead3
Wie muss man denn vorgehen, wenn die Bevölkerung nicht unendlich gross ist?

Da muss dann das hypergeometrische Modell zum Einsatz kommen:

Du hast $\begin{eqnarray*} N=1000 \end{eqnarray*}$ Leute, von denen eine unbekannte (zu schätzende) Anzahl $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Ja antworten würde. Befragt werden nun beispielsweise $\begin{eqnarray*} n=600 \end{eqnarray*}$ dieser Leute, von denen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit Ja antworten.

Dann ist ja schon von vornherein 100%-ig klar, dass $\begin{eqnarray*} k\leq M\leq N-n+k \end{eqnarray*}$ ist. Aber du willst ja gar keine 100%, sondern nur ein $\begin{eqnarray*} (1-\alpha) \end{eqnarray*}$ -Konfidenzintervall für $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , was ja über $\begin{eqnarray*} p=\frac{M}{N} \end{eqnarray*}$ mit dem Anteil der Ja-Antwortenden zusammenhängt. Überleg dir nun mal, wie die Aufstellung dieses Konfidenzintervalls mit Hilfe der bereits erwähnten Hypergeometrischen Verteilung bewerkstelligt werden kann!

15.10.2010, 15:17

radiohead3

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir den Link einmal angeschaut zur Hypergeometrischen Verteilung.
Ich habe dort auch gefunden, dass die Varianz=
$\begin{eqnarray*} n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1} \end{eqnarray*}$
ist.

Kann ich das jetzt einfach wieder in die KI Formel einsetzen?

95%-KI=0.3+-1.96*sqrt(varianz/n)

In meinem Beispiel kenne ich aber M ja nicht. Muss ich es einfach schätzen?
M=N*k/n also den Stichproben Anteil einfach auf die Grundgesamtheit hochrechnen?

dann wäre ja M im Beispiel = 1000*0.3=300

Formel wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{300}{1000}\pm1.96*\sqrt{\frac{{600\frac{300}{1000}(1-\frac{300}{1000})\frac{1000-600}{1000-1}}}{1000}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt iwie nicht. Denn dann gäbe es ein KI von (-.14,.74)

Wo liegt der Fehler?
Falls man die Varianz nicht einfach so einsetzen kann, wäre ich froh, wenn du mir sagen könntest, wie es geht, da ich sonst keine Ideen mehr habe.

Danke

15.10.2010, 15:23

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von radiohead3
Kann ich das jetzt einfach wieder in die KI Formel einsetzen?

Nein!!! Da kommst du wieder in den Bereich der unzulässigen Annahmen und Approximationen. Du sollst die Konstruktion des Konfidenzintervalls direkt auf die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} H(k|N;M;n) \end{eqnarray*}$ der hypergeometrischen Verteilung aufbauen.

15.10.2010, 15:35

radiohead3

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie geht das? ich habe echt keine Ahnung. Ich studiere leider weder Statistik noch Mathematik. "nur Wirtschaft" Wink

15.10.2010, 15:46

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Um es kurz zu sagen: $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt genau dann im $\begin{eqnarray*} (1-\alpha) \end{eqnarray*}$ -Konfidenzintervall, falls

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \leq H(k|N;M;n) \leq 1-\frac{\alpha}{2} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Bei festen $\begin{eqnarray*} N,n,k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} M\to H(k|N;M;n) \end{eqnarray*}$ monoton fallend (mit den Eckwerten $\begin{eqnarray*} H(k|N;k;n)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H(k|N;N-n+k+1;n)=0 \end{eqnarray*}$ ), damit kannst du mit Bedingung (*) dann ein Konfidenzintervall für $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ festlegen. Die genaue Feststellung mittels (*) wird aber ohne rechentechnische Hilfe nur schwer möglich sein.

15.10.2010, 16:06

radiohead3

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe leider nicht ganz genau was du meinst. Aber könnte ich die Formel in meinen TI-89 eintippen wenn du mir sie gibst? oder kann der das auch nicht?

15.10.2010, 16:44

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir alles nochmal genau durch, und zeige dann mal ein bisschen Selbständigkeit - sowas muss auch einem Wirtschaftsfachmann möglich sein (obwohl ich nach der letzten Finanzkrise dran zweifle). Augenzwinkern

16.10.2010, 14:51

radiohead3

Auf diesen Beitrag antworten »

was heisst denn H(k|N;m;n) genau?
W'keit, dass k eintrifft gegeben N,m und n?
Kann der mir der TI-89 nun weiterhelfen oder nicht?

Wie ist das aber nun mit M? Wenn ich z.B. ausrechnen will:
H(k|N;M;n)
mit N=1000
M=?
n=600

Ich kenne den wahren Wert der Ja sager ja nicht. Also kenne ich das M doch nicht. Kann doch nichts anderes machen als es schätzen....

13.12.2010, 15:38

Thaddy

Auf diesen Beitrag antworten »

@René Gruber

Von der Forderung eines Konfidenzintervalls
$\begin{eqnarray*} W(M_{min}<=M<=M_{max})>=1-\alpha \end{eqnarray*}$

wie kommt man da auf die Bedingung (*) für die hypergeometrische Verteilung????

Neue Frage »

Antworten »

Statistik: Konfidenzintervall bei kleiner Grundmenge

Verwandte Themen