Sonderfälle von Ableitungen (ln, cos, e^x)

15.10.2010, 13:00	nork	Auf diesen Beitrag antworten »
Sonderfälle von Ableitungen (ln, cos, e^x) Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Problem bei der Lösung folgender Gleichungen: a) $\begin{eqnarray} y = x \cos^{3}(\frac{x}{3}) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} y = \frac{e^{4x}}{4 + x^{2}} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} y = ln(x + \sqrt{x^{2} + 1} ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also bei a) störe ich mich an dem $\begin{eqnarray} \cos^{3} \end{eqnarray}$ weil ich auf unterschiedliche Ergebnisse komme wenn ich $\begin{eqnarray} \cos^{3}(\frac{x}{3}) \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \cos(\frac{x}{3})^{3} \end{eqnarray}$ löse. Ich komme auf die Ergebnisse: $\begin{eqnarray} \frac{2x\sin^{3} }{3} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \cos^{3} (\frac{x}{3})-x\cos^{2} (\frac{x}{3} ) * \sin(\frac{x}{3} ) \end{eqnarray}$ Und weiß jetzt leider nicht was richtig ist. b) habe ich als Ergebniss: $\begin{eqnarray} \frac{4e^{4x}}{x^{2} + 4} - \frac{2xe^{4x} }{(x^{2} +4)^{2} } \end{eqnarray}$ c) habe ich als Ergebniss: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } +1}{\sqrt{x^{2} +1}+x } \end{eqnarray}$ Hatte das Thema leider nur rudimentär und hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank für eure Hilfe!
15.10.2010, 13:10	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sonderfälle von Ableitungen (ln, cos, e^x) Hi, $\begin{eqnarray} \cos^{3}(\frac{x}{3}) = \left(\cos(\frac{x}{3})\right)^{3} \end{eqnarray}$ , also ist der erste Ansatz richtig. Wenn $\begin{eqnarray} \cos(\frac{x}{3})^{3} \end{eqnarray}$ gemeint wäre, müßte man das so klammern $\begin{eqnarray} \cos\left((\frac{x}{3})^{3}\right) \end{eqnarray}$ .
20.10.2010, 14:42	nork	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, ich habe die erste Aufgabe so gelöst: y = $\begin{eqnarray} x (cos(u))^3 \end{eqnarray}$ u = $\begin{eqnarray} \frac{x}{3} \end{eqnarray}$ u´= $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ y = $\begin{eqnarray} x * v \end{eqnarray}$ v = $\begin{eqnarray} (\cos(u))^3 \end{eqnarray}$ v´= $\begin{eqnarray} -3\sin(u) * (\cos(u))^2 \end{eqnarray}$ y´= $\begin{eqnarray} v * -3\sin(u) * (\cos(u))^2 * \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ y´= $\begin{eqnarray} (\cos(u))^3 * -3\sin(u) * (\cos(u))^2 * \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ y´= $\begin{eqnarray} (\cos(\frac{x}{3}))^3 * -3\sin(\frac{x}{3})) * (\cos(\frac{x}{3})))^2 * \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Lautet Mathe-Software lautet die Lsg aber: y´= $\begin{eqnarray} (\cos(\frac{x}{3}))^3 * -x \sin(\frac{x}{3})) * (\cos(\frac{x}{3})))^2 \end{eqnarray*}$ Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank für die Hilfe!
21.10.2010, 20:34	nork	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand der mir helfen könnte?
21.10.2010, 22:52	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Also was deine ausführliche Rechnung betrifft, da hast du einfach einen Term bei der Kettenregel am Schluß vergessen. Dann kommt nämlich über u = x/3 noch das x dazu und einmal kürzt sich 3 und 1/3 raus. Dann müssten die Ergebnisse eigentlich übereinstimmen. Deine Rechnungen aus dem ersten Beitrag scheinen soweit auch zu stimmen, hab die Ableitungen mal per Mathematica berechnen lassen. Gruß

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