Kurvenlänge [Differentialgeometrie]

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Cel Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenlänge [Differentialgeometrie]
Unglaublich, schon in der ersten Woche suche ich nach Hilfe. Es geht um folgende Augabe:

[attach]16261[/attach]

Es geht um Teil b). Teil c) ergibt sich ja dann sehr schön aus b), weil die harmonische Reihe divergiert.

Normalerweise zeige ich Weglängen gerne mit Zerlegungen, was ich aber hier nicht darf, weil die Länge in der Vorlesung als Integral über die Norm der Ableitung definiert wurde. OK, dann mal los:



Und jetzt? Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben? Ich hab schon ausmultipliziert und das Additionstheorem "2sin(x)cos(x) = sin(2x)" genutzt, aber das bringt mir nicht so viel, wie mir scheint. Außerdem frage ich mich, wo ich gut abschätzen kann. Bei Wurzeln fiele mir nur eine Abschätzung in die falsche Richtung ein, wegen , aber das bringt mir ja nun auch nichts ...

Wäre dankbar, wenn jemand das Licht anknipsen würde. Im Sinne von Idee! .
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenlänge [Differentialgeometrie]
Hallo!

Ich könnte mir vorstellen, dass du mit dem Mittelwertsatz weiterkommst erstmal: dein Integral ist gleich Intervall-Länge mal ein Funktionswert aus dem Intervall.

Den existierenden Funktionswert kannst du dann versuchen abzuschätzen.

Grüße Abakus smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenlänge [Differentialgeometrie]
Dank dir zunächst, ich racker hier schon seit heute morgen wieder an der Aufgabe, komme aber nicht wesentlich weiter. Meine weiteren Überlegungen waren (mit MWS):



Dabei hab ich unter der Wurzel abgeschätzt, also die 1 weggelassen und dann die Wurzel "schön" ziehen können. Ist das der richtige Ansatz? Oder sollte ich doch lieber ausmultiplizieren? Irgendwie führen alle Rechnungen bei mir auf einen negativen Term, was bei einer Länge ja nun gar nichts bringt.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst dem hinteren Teil natürlich auch Betragsstriche spendieren, weiß allerdings nicht ob dir das weiter hilft Augenzwinkern
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. smile Aber das hab ich bereits mit abgeschätzt, mit .
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

.
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Huch, schon wieder wegeditiert? Augenzwinkern Nun, dein Ergebnis hatte ich auch irgendwo mal raus, aber da hat mich irritiert, dass die ja im Nenner ein "n + 1/2" haben wollen. Im komme nirgends auf die 1/2 ...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ja ich glaub was ich geschrieben hatte, war Schwachsinn, da es in jedem Intervall mind. eine Nullstelle geben sollte (?)...

Ich seh's auf alle Fälle auch nicht wirklich. Zuminest kann man leicht sehen, dass






für genügend grosse n.

Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenlänge [Differentialgeometrie]
Andere Idee: wie ist es, wenn wir einfach einen geeigneten Funktionswert als Abschätzung nehmen:

sicher ist , also lässt sich sagen:



An den Rändern unseres Intervalls ist der Funktionswert ja Null und c ist stetig.

Grüße Abakus smile

edit: Formel etc., mit ist die zweite Komponente von gemeint
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wenn ich dieses spezielle t einsetze und die Norm an der Stelle ausrechne, dann komme ich tatsächlich an die gewünschte Ungleichung. Leider erschließt sich mir immer noch nicht, warum man dieses t nun wählen darf, geschweige denn, warum das dann größer als das betrachtete Integral ist. Mir kommt hier nur die Abschätzung eines Integrals durch das Extremum mal Intervalllänge in den Sinn. Aber die Intervalllänge kommt bei dir gar nicht vor, zumal sie ja auch kleiner als 1 ist und wieder nur eine Abschätzung in die falsche Richtung zulässt.

Ich werde mich auf jeden Fall noch weiter damit beschäftigen, wäre aber für weitere Anmerkungen sehr dankbar.

Edit: Ah, ich glaube, jetzt hat was gescheppert! Klappt es so, dass ich die Kurve approximiere durch die Strecke zwischen einem Randpunkt und dem in der Mitte? Die Länge ist ja größer als diese Schätzung. Und wenn ich dann die Norm von (z.B.)

ausrechne, kann ich das wie gewünscht abschätzen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schau hier:



Was sind jetzt die Intervallgrenzen, was ist die betrachtete Kurvenlänge, und was ist der genommene Funktionswert?

Grüße Abakus smile

edit: Gleichung/Maßstab korrigiert
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Intervallgrenzen sind jeweils die Nullstellen, die Kurvenlänge dann das Integral über die Ableitung der Bögen, die dazwischen verlaufen (entweder unter- oder oberhalb der x-Achse) und der Funktionswert, den wir nehmen, das Maximum bzw. Minimum auf diesem Intervall ...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Und jetzt müssten wir zu einer Meinung kommen, was länger ist: die Kurve oder die gerade Strecke von der Achse zum max. Funktionswert.

Grüße Abakus smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Kurve natürlich. Leuchtet ein. Dankeschön. smile Was sagst du denn - als letzte Frage - zu meinem Edit von oben?

Zitat:
Original von Cel
Klappt es so, dass ich die Kurve approximiere durch die Strecke zwischen einem Randpunkt und dem in der Mitte? Die Länge ist ja größer als diese Schätzung. Und wenn ich dann die Norm von (z.B.)

ausrechne, kann ich das wie gewünscht abschätzen.


Das ist natürlich dann nur die Häflte des Bogens, da müsste also noch eine 2 rein. Aber das kann man dann ja auch wieder mit 1 abschätzen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Ja, die Kurve natürlich. Leuchtet ein. Dankeschön. smile Was sagst du denn - als letzte Frage - zu meinem Edit von oben?


Kannst du machen (mit entsprechender Begründung), und ist als Längenabschätzung der Kurve vielleicht ja sogar einsichtiger, scheint mir für die Aufgabe jedoch unnötig.

Grüße Abakus smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr für die Hilfe, auch an die anderen. Wink
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