Mengenbeweis

15.10.2010, 18:43

hnky

Mengenbeweis

hallo,

ich habe probleme mit folgender aufgabe:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} A,B\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Beweise:
$\begin{eqnarray*} A=A\cup B <=> B \subset A \end{eqnarray*}$

die "=>" richtung habe ich wie folgt bewiesen:

$\begin{eqnarray*} A=A\cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => a) B = \varnothing \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} b) B=A \end{eqnarray*}$

fall a) folgt ja sofort, da die leere menge per definition teilmenge jeder menge ist.
fall b) folgt ebenfalls sofort, da jede menge teilemenge von sich selber ist, also gilt die hinrichtung.

bei der rückrichtung habe ich noch probleme, da ich nicht wirklich weiß, wie ich hier beginnen kann. hätte jemand einen tipp für mich?

danke schonmal im voraus.

15.10.2010, 18:47

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Folgerung stimmt allerdings nicht.

Nehmen wir einfach mal an sie stimmt, dann bekommen wir folgende absurde Folgerung:

$\begin{eqnarray*} B \subset A \Longrightarrow A = A \cup B \Longrightarrow B=\emptyset \text { oder } B=A \end{eqnarray*}$

Oder in Worten ausgedrückt: Jede Menge hat nur die leere Menge und sich selbst als Teilmenge.

15.10.2010, 19:02

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das stimmt natürlich.

bleibt also noch die möglichkeit, dass $\begin{eqnarray*} B \subset A \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} A=A\cup B \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, wobei das ja aber auch die leere menge und menge A beinhaltet.

das ist aber auch schon direkt die zu zeigende aussage, damit habe ich aber doch eigentlich gar nichts bewiesen, oder?. gibt es hier eine andere vorgehensweise, die mir unbekannt ist?

15.10.2010, 19:28

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

da ich nicht mehr editen kann:

ich stand wohl eben ziemlich auf der leitung.

"=>"
$\begin{eqnarray*} x\in B => x\in A\cup B => x\in A \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} A \cup B=A \end{eqnarray*}$ ist.

die rückrichtung habe ich auch hinbekommen.

danke für die hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

Mengenbeweis

Verwandte Themen