Volumen eines Tetraeders

15.10.2010, 19:11

Zoxy

Volumen eines Tetraeders

Meine Frage:
Die von einem Punkt ausgehenden nicht komplanaren Vektoren a, b und c bestimmen eine Pyramide. Berechnen Sie deren Volumen mit Hilfe des Spatprodukts!

Dies ist die Aufgabe.

Meine Ideen:
Ich denke, dass ich die Aufgabe gelöst habe, bin mir da aber nicht ganz sicher.
Das Volumen einer Pyramide ist ja bekannt mit V= 1/3 * G *h
Die Grundfläche der durch die 3 Vektoren erzeugten Pyramide, welche ein Tetraeder sein müsste, ist ein Dreieck, wodurch die Grundfläche aus der Formel für das Spatprodukt, die ja für viereckige Grundflächen gilt, zu ersetzen:
$\begin{eqnarray*} V_{Spat} = |(\vec a \times \vec b )|*\vec c| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{Pyramide} = \frac{1}{3}*|(\vec a \times \vec b)*\vec c| \end{eqnarray*}$

Da die Grundfläche wie o.g. ein Dreieck ist, muss die Grundfläche in der Formel halbiert werden, also:

$\begin{eqnarray*} V_{Tetraeder} = \frac{1}{3}*\frac{1}{2}*|(\vec a \times \vec b)*\vec c| \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} V_{Tetraeder} = \frac{1}{6}*|(\vec a \times \vec b)*\vec c| \end{eqnarray*}$

Bin ich damit schon fertig? Denn irgendwie kommt mir dieser Beweis zu kurz, bzw. zu einfach vor, als dass es eine Aufgabe aus dem Hochschulbereich ist...

Hoffe auf Antworten Augenzwinkern

Zoxy

15.10.2010, 19:54

mYthos

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Die Endformel für das Volumen der Pyramide ist richtig und auch die Begründung, weshalb das Spatprodukt zu halbieren ist. Allerdings hat die Größe der Grundfläche mit dem Spatprodukt noch nichts zu tun, sie folgt allein aus dem vektoriellen Produkt (Kreuzprodukt). Für das Volumen muss man die Projektion des Vektors c auf die Pyramidenhöhe heranziehen und erst daraus entsteht das Spatprodukt.
Wie man zu diesem kommt, hattest du also bis jetzt noch nicht gezeigt. Es ist die Frage, ob dies überhaupt deine Aufgabe war.

mY+

Bemerkung: Ein Tetraeder ist eine besondere dreiseitige Pyramide, deren Seitenlängen alle gleich sind. Somit ist deine Überschrift nicht ganz zutreffend.

16.10.2010, 11:12

Zoxy

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Also müsste noch diese Beziehung herstellen:

$\begin{eqnarray*} cos(\omega) = \frac{\vec h}{\vec c} ->\vec h = \vec c * cos (\omega) \end{eqnarray*}$

Nun hätte ich dann $\begin{eqnarray*} cos(\omega) \end{eqnarray*}$ in der Formel, müsste ich den dann noch irgendwie ersetzen durch eine Beziehung der drei gegebenen Vektoren? also so, dass ich dann, wenn ich eine Aufgabe mit Zahlen erhalte, ich nur noch die 3 Vektoren einsetzen muss und das Volumen direkt erhalte?

Oder ist meine Überlegung von oben falsch?

16.10.2010, 11:15

Zoxy

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Anmerkung: der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \vec h = \vec c * cos(\omega) \end{eqnarray*}$

ist doch nichts anderes als der Betrag von Vektor c, oder?
Also:

$\begin{eqnarray*} |\vec c|=\vec c * cos(\omega) \end{eqnarray*}$

16.10.2010, 11:59

Taffy

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Wieso gehst du denn in Richtung Tetraeder, wenn die Aufgabenstellung nach dem Volumen einer Pyramide fragt? (Ich muss grad die gleiche Aufgabe bewältigen..)

16.10.2010, 12:44

Zoxy

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Ja hatte mich vertan.
Durch die 3 Vektoren wird natürlich nur eine Dreieckspyramide erzeugt, also mit 4 dreieckigen Flächen.

16.10.2010, 12:46

mYthos

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Du musst den Einheitsnormalvektor $\begin{eqnarray*} \vec {n_0} \end{eqnarray*}$ verwenden, dieser hat die Länge 1 und damit ist dann auch die Maßzahl für die Höhe h festgelegt:

$\begin{eqnarray*} \vec {n_0} = \frac{\vec a \times \vec b}{|\vec a \times \vec b|} \end{eqnarray*}$

Genau auf diesen wird der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ projiziert

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} * \vec c = |\vec{n_0}| \cdot |\vec c| \cdot \cos \omega \end{eqnarray*}$

nun in $\begin{eqnarray*} h = |\vec c| \cos \omega \end{eqnarray*}$ den Cosinus des Winkels ersetzen und damit musst du auf

$\begin{eqnarray*} h = \vec c * \vec{n_0} \end{eqnarray*}$

kommen. Beachte, dass die Grundfläche der Betrag des Kreuzproduktes der beiden Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ ist. Nun ist es zum Volumen nicht mehr weit (der Betrag des Kreuzproduktes .. kürzt sich heraus) ...

mY+
_______________________

Bemerkung: Deine Ausführungen

Zitat:

Original von Zoxy
Also müsste noch diese Beziehung herstellen:

$\begin{eqnarray*} cos(\omega) = \frac{\vec h}{\vec c} ->\vec h = \vec c * cos (\omega) \end{eqnarray*}$
...

und

Zitat:

Original von Zoxy
Anmerkung: der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \vec h = \vec c * cos(\omega) \end{eqnarray*}$

ist doch nichts anderes als der Betrag von Vektor c, oder?
Also:

$\begin{eqnarray*} |\vec c|=\vec c * cos(\omega) \end{eqnarray*}$

sind alle unrichtig! Da bringst du Vektoren und Beträge gehörig durcheinander.

16.10.2010, 13:17

Taffy

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Durch die drei Vektoren wird aber nicht nur eine Dreieckspyramide erzeugt, wenn ich das richtig verstehe, denn durch Vektor a X Vektor b wird eine viereckige Grundfläche erzeugt. Für eine Dreieckspyramide müsste die Grundfläche halbiert werden.

16.10.2010, 13:38

mYthos

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Natürlich, aber das hatten wir doch schon (Begründung, warum beim Volumen davor 1/6 stehen muss). Die Grundfläche A (des Dreieckes) ist demnach

$\begin{eqnarray*} A = \frac 1 2 |\vec a \times \vec b| \end{eqnarray*}$

Jetzt - mit allen bisherigen Überlegungen - sollte es aber gut gehen.

mY+

16.10.2010, 16:58

Zoxy

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Okay, denke, dann hab ich es jetzt (endlich) raus...

$\begin{eqnarray*} V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h G_{Dreieckspyramide}= \frac {1}{2} \cdot |\vec a \times \vec b| h= |\vec c| \cdot cos \omega \end{eqnarray*}$

Um nun das Volumen durch die 3 gegebenen Vektoren anzugeben, muss ich den Winkel Omega herausbekommen. Dies geschieht durch die Projektion des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ auf die die Höhe h:

$\begin{eqnarray*} \vec c \cdot \vec n_e = |\vec c| \cdot |\vec n_e| \cdot cos \omega cos \omega = \frac{\vec c \cdot \vec n_e}{|\vec c|} \end{eqnarray*}$
Aus dem Nenner kürzt sich direkt der Betrag des Normaleneinheitsektors, da dieser ja 1 beträgt.

Dies setzt man nun in die obige Formel für die Berechnung von h ein und ersetzt den Normaleneinheitsvektor durch die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \vec n_e = \frac {\vec a \times \vec b}{|\vec a \times \vec b|} \end{eqnarray*}$

So ergibt sich :

$\begin{eqnarray*} h= \vec c \cdot \frac {\vec a \times \vec b}{|\vec a \times \vec b|} \end{eqnarray*}$

Nun setzt man alles in die Volumenformel für Pyramaide ein und erhält:

$\begin{eqnarray*} V_{Dreieckspyramide} = \frac {1}{3} \cdot \frac {1}{2} \cdot |\vec a \times \vec b| \cdot\vec c \cdot \frac {\vec a \times \vec b}{|\vec a \times \vec b|} \end{eqnarray*}$

Der Betrag des Kreuzproduktes kürzt sich aus dem Term und die Brüche kann man zusammenfassen zu 1/6, sodass man erhält:

$\begin{eqnarray*} V_{Dreieckspyramide}= \frac {1}{6} \cdot \vec c \cdot (\vec a \times \vec b) \end{eqnarray*}$

und der hintere Term ist bekannt, nämlich das Spatprodukt, sodass man sagen kann:

$\begin{eqnarray*} V_{Dreieckspyramide} = \frac {1}{6} \cdot V_{Spat} \end{eqnarray*}$

q.e.d

Im Nachhinein ein nachvollziehbarer Lösungsweg. Muss mich wohl noch mehr mit Vektoren auseinandersetzen, um da eine Routine reinzukriegen.

Danke für die Hilfe

16.10.2010, 18:08

mYthos

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Gut!

mY+

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