Gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck: Flächengleichung

15.10.2010, 19:20

KMS43

Gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck: Flächengleichung

Meine Frage:
Es stellt sich folgendes mathematisches Problem:
Gleichschenkliges, Rechtwinkliges Dreieck

geg.: h = 8
ges.: x mit x + y = b [= a] , so dass y² = x(a+y)/2

Ich benötige quasi eine Senkrechte auf einer der Katheten, so dass das gegebene Dreieck in zwei gleichgrosse Flächen geteilt wird.
Die Höhe von 8 kann beliebig gewählt werden.

Meine Ideen:
Lösung:
Man zeichne sich eine Diagonale 45° von links oben nach rechts unten mit Länge 80 (10:1).
Am unteren, rechten Ende zeichne man die Katheten (Senkrecht (a) und Waagerecht (b) im Rechten Winkel Länge ca. 113,1)
Am oberen, linken Ende der Diagonale zeichne man im Rechten Winkel die Hypotenuse (Länge = 160).
Vom Schnittpunkt der Hypotenuse mit der Waagerechten Kathete (b) gehe man um die Länge der Diagonalen (Höhe h = 80) nach Rechts und zeichne dort eine Gerade im Rechten Winkel nach oben (diese sollte mit s bezeichnet werden). Der Abschnitt auf der Waagerechten Kathete links der Senkrechten (s) wird mit y bezeichnet, der Abschnitt rechts mit x.
Die Fläche links der Geraden s wird mit A und die Fläche rechts mit B bezeichnet.

Da dieses Konstrukt Rechtwinklig und Gleichschenklig ist kann davon ausgegangen werden, dass y = s ist (woraus folgt, dass ys = y²)!

A= ys (redundante information)
B= (a+s)x/2 (redundante information)

A + B = (ab)/2
[mit A=B] => 2A = ab/2
[mit A= y²/2] => 2(y²/2) = ab/2
=> y² = ab/2
=> y = wurzel(ab/2)
[mit a=b] => y = wurzel(b²/2)

Zwischenbemerkung:
h²+h² = b²
=> 2h² = b²
=> h² = b²/2
=> h = wurzel(b²/2) ==>> h = y

somit folgt:
x = b - y <=> x = b - h

Im Klartext:
Die Senkrechte auf der Kathete, die die Fläche des Gleichschenkligen, Rechtwinkligen Dreiecks in zwei gleichgroße Flächen teilt ergibt sich aus b - h !

Schön, wenn man die Lösung bei der Fragestellung schon selber findet ;-)
Man korrigiere mich bitte, wenn ich mich irre.

15.10.2010, 21:51

KMS43

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Wundert mich, dass es diese Frage noch nicht gab.
Oder gab es diese Frage schonmal ?

Warum das Ganze ?
Man nehme ein Rohr aus Stahl (Außendurchmesser=100mm) und eine Platte aus Stahl.
Setze das Rohr senkrecht auf die Platte.
Verschweiße das Rohr mit einer umlaufenden Kehlnaht (Höhe 8mm).

Welches Volumen hat die Naht (angenommen die Naht wäre Rechtwinklig gleichschenklig Höhe 8mm) ?

Formel wäre: Querschnittfläche * Umfanglänge
Querschnitt ist ohne Diskussion 64mm² (8mm *8mm) !

Länge des Umfanges wäre korrekterweise ... ja wie jetzt ?
100mm*pi =314,15 (=> V=20106mm³)?
oder
106,6mm*pi =334,9 (=> V= 21438,7mm³)

Zugegeben die Differenz von 1333mm³ ist (praktisch) nicht von Bedeutung, aber mathematisch schon.

Gruß an Dan,
falls Du mal hier reinschaust ;-)

16.10.2010, 14:01

riwe

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Zitat:

Original von KMS43
Wundert mich, dass es diese Frage noch nicht gab.
Oder gab es diese Frage schonmal ?

Warum das Ganze ?
Man nehme ein Rohr aus Stahl (Außendurchmesser=100mm) und eine Platte aus Stahl.
Setze das Rohr senkrecht auf die Platte.
Verschweiße das Rohr mit einer umlaufenden Kehlnaht (Höhe 8mm).

Welches Volumen hat die Naht (angenommen die Naht wäre Rechtwinklig gleichschenklig Höhe 8mm) ?

Formel wäre: Querschnittfläche * Umfanglänge
Querschnitt ist ohne Diskussion 64mm² (8mm *8mm) !

Länge des Umfanges wäre korrekterweise ... ja wie jetzt ?
100mm*pi =314,15 (=> V=20106mm³)?
oder
106,6mm*pi =334,9 (=> V= 21438,7mm³)

Zugegeben die Differenz von 1333mm³ ist (praktisch) nicht von Bedeutung, aber mathematisch schon.

Gruß an Dan,
falls Du mal hier reinschaust ;-)

wenn das so wie im bilderl ausschauen soll, mit r =50mm und h = 8mm, dann liegst du mit
$\begin{eqnarray*} V \approx 20000mm³ \end{eqnarray*}$
aber g´scheit daneben, fürchte ich

16.10.2010, 17:07

KMS43

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@riwe: Ja, ich seh's auch ein, dass ich danebenliege.
Das Bild ist sehr schön und trifft es genau, was ich meine.
Wo wäre ich denn richtig... vielleicht finde ich ja einen weg, wenn ich die Lösung kenne. (Um es gleich zu sagen: In der Schule/Praxis wurde die Lösung 20106 als richtige bestätigt, gefällt mir aber nicht, da einfach mit r=50 gerechnet wurde)

@Alle Leser dieses Beitrages
Ich präzisiere mal meine Frage mit eine Fallunterscheidung:

Fall 1) Wir gehen davon aus, dass die Schweissnaht (Dichte) an allen Punkten des Dreiecksquerschnitts gleich ist,

Fall 2) wir haben keine Schweissnaht, sondern einen Dreieckstahl, der in die Kreisform gebogen wird. (Im Aussenradius wird gestreckt, im Innenradius gestaucht, die Dichte ändert sich; bei steigendem Radius nimmt sie ab [wo liegt die neutrale Faser?]!!!),

Fall 3) Wir haben ein Stück Stahl, aus dem die im Bild dargestellte Form herausgearbeitet wird (drehen fräsen wieauchimmer) [Ohne zu strecken oder zu stauchen].

Interessant ist für mich momentan eher Fall 1 bzw. Fall 3, die ja im Prinzip Identisch sind.

Kann mir denn jemand erklären, welchen exakten Radius ich für die Berechnung zugrundelegen muss ?
Wenn ich - wie in meiner Rechnung - zugrunde lege, dass die Flächen A=B sind, dann liege ich alleine deshalb falsch, weil Fläche A (größerer Radius) im Ring ein wesentlich größeres Volumen ergeben muss, als die Fläche B (im kleineren Radius) ergeben wird.

Um es exakt zu berechnen müsste ich also den gesamten Dreiecksring an einer bestimmten Stelle (Radius) teilen (ähnlich, wie in meiner Rechnung) und dann das Volumen der beiden RingVolumen von A und B gleichsetzen.

Da beißt sich bei mir der Hund in den eigenen Schwanz, da ich bei Fäche A wieder ein Dreieck habe und nicht weiß, wo die neutrale Faser liegt (sofern man diese hier so nennen kann) [Volumen-neutrale Faser würde es vielleicht besser beschreiben].

Mögliche Kandidaten:
Schwerpunkt des Dreiecks (Seitenhalbierende) bei r+1/3b (?)
Mittensenkrechte auf b bei r+1/2b
Oder irgendwas ganz anderes verwirrt

r+37,5b/100 wäre noch eine Vermutung)

Irgendwelche Ideen oder Hinweise sind willkommen.

PS: Würde ja gerne Bilder anfügen, weiß aber nicht, wie ich die erstellen kann... ich reiche evtl. welche nach

16.10.2010, 18:01

KMS43

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Aha, so geht's mit Bildern
[attach]16267[/attach]

Die Frage ist also wo muss E bzw s liegen,damit das Volumen des Dreieckringes rechts von s genaus groß ist, wie der Ring links von s ?

Also Volumen AEFB = CEF (schon klar, dass das Flächen sind, aber ich will ja diese Flächen um einen Kreis gelegt haben)

16.10.2010, 18:20

riwe

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problem 1:
das gesuchte volumen ist das eines kegelstumpfes minus eines zylinders.
radius und höhe des zylinders sind gegeben, der rest sollte klar sein

problem 2:
wie 1 mit der unbekannten und gesuchten höhe h´.
s = h - h´
das löst man am vernünftigsten numerisch.
mit den werten von oben:
$\begin{eqnarray*} s \approx 2,30 \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 01:39

KMS43

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hm...

Problem 1 Volumen ist klar, wenn auch der Weg ein anderer ist, als ich dachte.
Statt Fläche und Umfang einfach 'nen vollen Kegelstumpf minus Zylinder ist aber einsichtig und ok.
Das würde dann folgendermaßen aussehen:

Kegelstumpf
h = 11,31
d = 100
D = 111,31
hs = 16
=> V= ((pi*h/12)*(D^2+d^2+D*d)) - ((d^2*pi/4)*h)
konkret:
V = ((pi*11,31/12)*(122,62^2+100^2+122,62*100)) - (100^2*pi/4) * 11,31
= 110436,56 - 88828,532
= 21608,027
also nicht so schrecklich weit weg von 20106 und 21439

Problem 2
muss ich später am tag drüber nachdenken, is schon spät und zeit für's bett

Aber danke schonmal für die Anregung, jetzt kenne ich zumindest das korrekte Volumen

PS: ich verspreche mir auch mal LaTex anzuschaun und ggf. zu editieren

17.10.2010, 09:52

riwe

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Zitat:

Original von KMS43
hm...

Problem 1 Volumen ist klar, wenn auch der Weg ein anderer ist, als ich dachte.
Statt Fläche und Umfang einfach 'nen vollen Kegelstumpf minus Zylinder ist aber einsichtig und ok.
Das würde dann folgendermaßen aussehen:

Kegelstumpf
h = 11,31
d = 100
D = 111,31
hs = 16
=> V= ((pi*h/12)*(D^2+d^2+D*d)) - ((d^2*pi/4)*h)
konkret:
V = ((pi*11,31/12)*(122,62^2+100^2+122,62*100)) - (100^2*pi/4) * 11,31
= 110436,56 - 88828,532
= 21608,027
also nicht so schrecklich weit weg von 20106 und 21439

Problem 2
muss ich später am tag drüber nachdenken, is schon spät und zeit für's bett

Aber danke schonmal für die Anregung, jetzt kenne ich zumindest das korrekte Volumen

PS: ich verspreche mir auch mal LaTex anzuschaun und ggf. zu editieren

haha,
oben hast du h = 8mm angegeben unglücklich

und damit gilt V = 10590 << 20000

ach jetzt schwant mir $\begin{eqnarray*} 8\sqrt{2}\approx 11.31 \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 10:42

KMS43

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ja, ist etwas verwirrend bezeichnet.

h=8 bezieht sich auf die Höhe des abgebildeten Dreiecks.

h=11,31 ist die Höhe des Kegelstumpfen.

Hätte ich vielleicht mit Index $\begin{eqnarray*} h_{D} \end{eqnarray*}$ für Dreieck
und $\begin{eqnarray*} h_{K} \end{eqnarray*}$ für Kegel versehen sollen.
Oder direkt mit a (als Kegelhöhe) anstelle h rechnen, da war ich ein wenig schlampig Ups

17.10.2010, 14:27

KMS43

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Also sollte ich nun einfach

$\begin{eqnarray*} V = d_{1} \cdot \pi \cdot A \end{eqnarray*}$

nach d umstellen

$\begin{eqnarray*} d_{1} = \frac{V}{A \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} d_{1} = \frac{21608{,}027mm^3}{64mm^2 \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_{1} = 107{,}47mm \end{eqnarray*}$

woraus folgen würde:

$\begin{eqnarray*} d_{1} =d+2 \cdot s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{d_{1} - d}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{107{,}47mm - 100mm}{2} = 3{,}73mm \end{eqnarray*}$

Und das würde dann 32,98% der Kathetenlänge entsprechen.

$\begin{eqnarray*} s=\frac{3{,}73mm \cdot 100%} {11,31mm} = 32{,}98 % \end{eqnarray*}$

An den richtigen Bezeichnungen muss ich noch arbeiten.

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