[Beweis] Identität zweier Mengen im R3

15.10.2010, 19:25	amateur	Auf diesen Beitrag antworten »
[Beweis] Identität zweier Mengen im R3 Meine Frage: Hallo, ich wusste leider nicht wie ich das Aufgabe im Titel näher benennen sollte. Ich bin im ersten Semester Mathematik und daher bei folgender Aufgabe ziemlich ratlos...: Es sei $\begin{eqnarray} M\subset \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ eine Ebene oder eine Gerade. Zeigen Sie: Sind $\begin{eqnarray} P, Q\in M \end{eqnarray}$ , so gilt auch $\begin{eqnarray} P+\mu(Q-P)\in M \end{eqnarray}$ für jedes Element $\begin{eqnarray} \mu\in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Folgern Sie: Ist M eine Gerade, sind $\begin{eqnarray} P, Q\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P\neq Q \end{eqnarray}$ , und ist M' die Gerade $\begin{eqnarray} M':= \left\{ x\in \mathbb R ^3\|\,Es\,gibt \, \lambda \in \mathbb R \,mit\, x=P+ \lambda(Q-P)\right\} \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} M = M' \end{eqnarray}$ Hinweis: Nach dem oben Gezeigten gilt $\begin{eqnarray} M'\subseteq M \end{eqnarray}$ , sodass Sie $\begin{eqnarray} M\subseteq M' \end{eqnarray}$ beweisen müssen. Machen Sie sich zunächst klar, dass es hier tatsächlich etwas zu zeigen gibt! Meine Ideen: Zum ersten Teil hab ich ausprobiert, dass man, wenn M eine Ebene ist, diese in Koordinatenform schreiben könnte $\begin{eqnarray} a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b \end{eqnarray}$ und dann für die Koordinaten die Komponenten aus der Geradengleichung einsetzen kann. Umgeformt und b auf beiden Seiten subtrahiert müsste sich ergeben: $\begin{eqnarray} \mu(a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+a_{3}q_{3}-(a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+a_{3}p_{3})=b<br /> \mu(b-b)=b<br /> \end{eqnarray}$ Kann man das so machen und hilft mir das weiter? Vom Rest der Aufgabe bin ich verwirrt... Ich freu mich auf eine Antwort!
15.10.2010, 20:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Frage, die sich bei so einer Aufgabe stellt: Wie habt ihr Ebene und Gerade definiert?
16.10.2010, 01:39	amateur	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gerade ist, mit $\begin{eqnarray} w=v'-v \in \mathbb R^3, \, w\neq 0: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\left\{ x\in\mathbb R^3:\,\exists\,\lambda\in\mathbb R\,mit\,x=v+\lambda w\right\} \end{eqnarray}$ definiert. Die Ebene $\begin{eqnarray} L=\left\{x\in\mathbb R^3 \| a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b\right\} \end{eqnarray}$ .

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