Induktion: (9^{n})-1 für alle n \in \mathbb N durch 8 teilbar? |
| 15.10.2010, 21:25 | ma13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Induktion: (9^{n})-1 für alle n \in \mathbb N durch 8 teilbar? Hi, ich soll beweisen, dass (9^{n})-1 für alle n \in \mathbb N durch 8 teilbar ist. Meinen Induktionsanfang wähle ich bei 1 also (9^{1})-1=8 Nun ist zu zeigen, (9^{n+1})-1 = (9^{n})*(9^{1})-1 = (9^{n})*(8+1)-1 = (9^{n})*8 +(9^{n})-1 Hier das Problem: jetzt weiss ich zwar, dass (9^{n})*8 durch 8 teilbar ist aber mit dem zweiten teil, (9^{n})-1, hab ich doch die induktion angefangen und bisher nur mit 1 auf die teilbarkeit mit 8 überprüft. woher will ich jetzt also wissen, dass das wirklich für alle n mit 8 teilbar ist???? Ich erkläre doch sonst "ein wort mit sich selbst" Meine Ideen: mein prof stellt das als wahr hin, aber ich kann das nicht nachvollziehen? |
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| 15.10.2010, 21:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei dir scheint es noch generell am Prinzip der vollständigen Induktion zu hapern als weniger an diesem konkreten Beispiel Es geht darum, dass die Aussage für n=1 gilt und wenn sie für irgendein n gilt, so gilt sie auch für n+1. D.h. da sie für n=1 gilt, gilt sie auch für n=2, deswegen wiederum gilt sie auch für n=3 usw...Also insgesamt für alle natürliche Zahlen. Bevor man mir den Kopf abhackt: Das ist kein Beweis des Induktionsprinzips, sondern eine anschauliche Erklärung. Für formale Analysen dieses Themas kannst du dich mal in die Axiomatik der natürlichen Zahlen einlesen. |
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| 15.10.2010, 21:31 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tja das ist eben das Prinzip der Induktion, man nimmt an dass es für n bereits bewiesen wurde. Falls n=1 ist so zeigt es dein Beweis auch für n+1 = 2. Jetzt darf also auch schon n=2 sein und dein Beweis zeigt es für 2+1=3 usw. |
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