Menge abbilden in C mit der Reziprokfunktion 1/z

15.10.2010, 21:40

StudiPlus

Menge abbilden in C mit der Reziprokfunktion 1/z

Hallo zusammen

Folgende (einfache?) Aufgabe bereitet mir seit Stunden Kopfschmerzen:

Gegeben sei die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{z\in \mathbb{C}: |z-2|\leq 4\} \end{eqnarray*}$ und die Abbildung f(z)=1/z (Reziprokfunktion).

Auftrag: Zeichnen Sie die Bildmenge M' in die w-Ebene.

Soweit bin ich bisher gekommen:

- Die Menge M ist der ausgefüllte Kreis (d.h. die Kreisscheibe) mit Mittelpunkt M(2|0) und Radius r=4.

- Ich habe den Kreis $\begin{eqnarray*} k:|z-2|=4 \end{eqnarray*}$ mit f abgebildet und erhalte den Bildkreis $\begin{eqnarray*} k':\left|w+\frac{1}{6}\right|=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Im Lösungsbuch ist die Menge M' angegeben als $\begin{eqnarray*} M'=\{z\in \mathbb{C}: \left|w+\frac{1}{6}\right|\geq\frac{1}{3} \} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass die Bilder aller Kreise $\begin{eqnarray*} |z-2|\leq 4 \end{eqnarray*}$ die ganze w-Ebene (bis auf die offene Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} \left|w+\frac{1}{6}\right|<\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ) ausfüllen.

Frage: Warum ist das der Fall?

- Bildet man allgemein den Kreis $\begin{eqnarray*} |z-2|=r \end{eqnarray*}$ ab erhält man einen von r abhängigen Mittelpunkt des Bildkreises $\begin{eqnarray*} M'\left(\frac{4}{8-2r^2};0\right) \end{eqnarray*}$ und natürlich ist auch der Bildradius r' abhängig von r: $\begin{eqnarray*} r'=\frac{2r}{2|4-r^2|} \end{eqnarray*}$ -> das brachte mich nicht weiter!

- Geometrisch kann man 1/z als Spiegelung am Einheitskreis + anschliessende Spiegelung an der reellen Achse interpretieren; auch dieser Ansatz brachte mich nicht weiter.

Wahrscheinlich überlege ich hier zu viel und die Lösung liegt direkt auf der Hand.

Besten Dank für Tipps und Hinweise!

15.10.2010, 22:25

wisili

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RE: Menge abbilden in C mit der Reziprokfunktion 1/z
Denke daran, dass das Bildkreis-Zentrum nicht das Bild des Kreiszentrums ist.

15.10.2010, 22:44

corvus

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RE: Menge abbilden in C mit der Reziprokfunktion 1/z

Zitat:

Original von StudiPlus
seit Stunden Kopfschmerzen Gott

Tipps und Hinweise!

noch ein Hinweis
deine Punktmenge M ist das Innere (incl. Rand) des Kreises K:
$\begin{eqnarray*} K= \{z\in \mathbb{C}: |z-2| = 4\} \end{eqnarray*}$

bei einer Inversion wird das Innere eines Kreises auf das Äussere des Bildkreises abgebildet
(und umgekehrt)
.

15.10.2010, 22:52

StudiPlus

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RE: Menge abbilden in C mit der Reziprokfunktion 1/z
Danke für die Antworten.

Zitat:

Original von wisili
Denke daran, dass das Bildkreis-Zentrum nicht das Bild des Kreiszentrums ist.

Ich denke nicht, dass ich das Bildkreis-Zentrum mit dem Bild des Kreiszentrums verwechselt habe; die Mittelpunkte der Bildkreise sind nach meiner Formel nicht fest, sondern hängen vom Radius des abgebildeten Kreises ab.

Das Bild der Zentren aller Kreise $\begin{eqnarray*} |z-2|=r \end{eqnarray*}$ wäre ein fester Punkt.

Zitat:

Original von corvus
bei einer Inversion wird das Innere eines Kreises auf das Äussere des Bildkreises abgebildet (und umgekehrt)

Genau das ist der springende Punkt, den ich eben nicht verstehe! Kann man diese Tatsache irgendwie (einfach) beweisen oder erklären?

15.10.2010, 23:04

corvus

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RE: Menge abbilden in C mit der Reziprokfunktion 1/z

Zitat:

Original von StudiPlus

Kann man diese Tatsache irgendwie (einfach) beweisen oder erklären?

............................ ja , kann man smile

.......................

schau dich doch erstmal selbst etwas um
google zB inversion einheitskreis
usw..

15.10.2010, 23:16

StudiPlus

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Ui, da habe ich wirklich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen! Hammer

Mit den Formeln wird das ganze echt kompliziert... unglücklich

Dass die Inversion Innen und Aussen tauscht ist die einfache Idee, die ich so lange suchte; der Beweis ist geometrisch sehr einfach...

Danke vielmals! Freude

16.10.2010, 00:19

StudiPlus

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Sorry, da war ich wohl etwas zu schnell...
...das Thema ist für mich immer noch nicht ganz klar!

"bei einer Inversion wird das Innere eines Kreises auf das Äussere des Bildkreises abgebildet (und umgekehrt)"

Auf die Schnelle habe ich mit Google nichts zu dem Thema gefunden (es geht ja um die Inversion eines Kreises am Einheitskreis und nicht um die "normale" Inversion bei einem Kreis, wo die Aussage klar ist). Ich suche noch ein bisschen weiter...

16.10.2010, 14:45

StudiPlus

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Die Aussage von corvus

"bei einer Inversion wird das Innere eines Kreises auf das Äussere des Bildkreises abgebildet (und umgekehrt)"

ist nach meiner Meinung in meinem Zusammenhang wohl falsch. Zwar wird in der Tat bei einer Inversion an einem Kreis äussere Punkte ins Innere angebildet und umgekehrt; hier in meinem Fall wird aber ein Kreis am Einheitskreis gespiegelt. Dass dann nicht zwingend das Innere des abgebildeten Kreises auf das Äussere des Bildkreises abgebildet wird zeigt folgendes Bild, welches ich schnell mit einem Mathe-Programm erstellt habe:

img824.imageshack.us/img824/4720/kreisabbilden.gif

Ich bin also leider immer noch gleich weit und suche die Erklärung der Lösung der Aufgabe:

Gegeben sei die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{z\in \mathbb{C}: |z-2|\leq 4\} \end{eqnarray*}$ und die Abbildung f(z)=1/z (Reziprokfunktion).

Zeichnen Sie die Bildmenge M' in die w-Ebene. Den Kreis $\begin{eqnarray*} k:|z-2|=4 \end{eqnarray*}$ habe ich bereits korrekt abgebildet, nur verstehe ich nicht ganz, warum dann die Bildmenge unter f die Menge $\begin{eqnarray*} M'=\{z\in \mathbb{C}: \left|w+\frac{1}{6}\right|\geq\frac{1}{3} \} \end{eqnarray*}$ ist.

Aber zumindest die Kreisinversion habe ich nun gut im Griff ;-) und ich denke, dass ich die Lösung "intuitiv" verstehe. Falls mir noch jemand einen Tipp hat, wie man die Aufgabe "mathematisch" löst, dann wäre ich dafür sehr dankbar!

16.10.2010, 16:52

wisili

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corvus hat in DIESEM Fall schon recht: Die Kreisscheibe M enthält die 0 und diese wird auf unendlich abgebildet, was nicht im Inneren des Bildkreises liegt.

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