Rotation

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15.10.2010, 23:49	Sebii22	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation Guten Abend, liebe Matheboard-Mitglieder! Ich sollte zeigen, dass für $\begin{eqnarray} \phi \in \mathbb R , \ \ w = \cos \phi + i \sin \phi \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} z \to wz \end{eqnarray}$ eine Rotation in der komplexen Ebene mit Zentrum 0 und Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ darstellt. Meine Frage ist: Wie zeigt man das konkret, damit die Behauptung folgt? (also: Ich möchte nicht, dass ihr mir das vorlöst, sondern ich würde nur gerne wissen, was ich konkret machen / zeigen muss, damit die Behauptung folgt). Vielen herzlichen Dank!
16.10.2010, 12:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z=x+iy=r\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray}$ sind die beiden Standarddarstellungen komplexer Zahlen. Die erste Darstellung mit Real- und Imaginärteil ist besser geeignet für die Addition komplexer Zahlen (Realteile und Imaginärteile werden addiert). Die zweite Darstellung ist besser geeignet für die Multiplikation komplexer Zahlen (Beträge werden multipliziert, Argumente werden addiert) - damit ist deine Aufgabe gelöst.
16.10.2010, 12:56	Sebii22	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau - die Idee hatte ich auch, $\begin{eqnarray} z = r \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray}$ zu setzen. Aber dann rechne ich $\begin{eqnarray} w \cdot z \end{eqnarray}$ und erhalte: $\begin{eqnarray} r \cdot e^{i \phi} \cdot ( \cos \phi + i \cdot \sin \phi ) \end{eqnarray}$ (ich hoffe, das ist korrekt..) Aber eben: Woran erkenne ich jetzt, dass diese Abbildung eine Rotation in der komplexen Ebene mit Zentrum 0 und Winkel Phi darstellt?
16.10.2010, 14:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee unterscheidet sich von deiner Idee in einem wichtigen Punkt (das Argument von z ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ), und so komme ich auf die Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb C\to \mathbb C, z\to w \cdot z=(cos \phi + i \cdot sin \phi )\cdot re^{i\varphi}=e^{i\phi}\cdot re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt noch einmal liest, was ich über die Multiplikation komplexer Zahlen geschrieben habe, erschließt sich vielleicht die Antwort. Sie ergibt sich offensichtlich aus den Potenzgesetzen : $\begin{eqnarray} e^xe^y=e^{x+y} \end{eqnarray}$
16.10.2010, 14:37	Sebii22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh.. Das ergäbe also: $\begin{eqnarray} e^{i \phi} \cdot e^{i \varphi} = r \cdot e^{i \phi + i \varphi} = r \cdot e^{i ( \phi + \varphi) } \end{eqnarray}$ "Beträge werden multipliziert, Argumente addiert". Das heisst also, dass die Argumente $\begin{eqnarray} \phi , \varphi \end{eqnarray}$ addiert werden und die Beträge multipliziert. Aber..irgendwie verstehe ich trotzdem noch nicht 100%, wieso dann folgt, dass die Abbildung eine Rotation mit Zentrum 0 und Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ darstellt. - Also wieso $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ versteh ich noch nicht 100%..
16.10.2010, 15:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z=re^{i\varphi}\to wz=r e^{i(\phi+\varphi)} \end{eqnarray}$ Das heißt doch, dass sich das Argument (also der Winkel) der Variablen z um das Argument von w vergrößert. Der Betrag (der Abstand vom Nullpunkt) von z bleibt erhalten. Geometrisch ist das eine Rotation um den Nullpunkt mit dem Winkel $\begin{eqnarray} \phi=arg(w) \end{eqnarray}$ .
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16.10.2010, 16:08	Sebii22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh..stimmt ..ich habe das Resultat irgendwie nicht korrekt interpretiert / gedeutet. Danke vielmals! Deine Erklärungen haben mir sehr geholfen! Ich hätte noch eine abschliessende Frage: Wie kann man mit Hilfe von: $\begin{eqnarray} ( \cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos (n \phi) + i \sin(n \phi) \end{eqnarray}$ (das habe ich bereits bewiesen) zeigen, dass diese Gleichung gilt?: $\begin{eqnarray} z^n = \cos \phi + i \sin \phi \end{eqnarray}$ Vielen Dank für den Hinweise =)
16.10.2010, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Frage ergibt so keinen Sinn. Die Darstellung $\begin{eqnarray} z=e^{i\varphi}=cos\varphi + i \cdot sin \varphi \end{eqnarray}$ einer komplexen Zahl vom Betrag 1 nennt man auch Eulersche Identität. Daraus kann man mittels komplexer Multiplikation (siehe oben !) schliessen $\begin{eqnarray} z^n=(e^{i\varphi})^n=e^{i n \varphi} \Rightarrow z^n=(cos\varphi + i \cdot sin \varphi)^n=cos(n \varphi )+i \cdot sin(n\varphi) \end{eqnarray}$
16.10.2010, 19:51	Sebii22	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} z^n = \cos \phi + i \sin \phi \end{eqnarray}$ für Phi aus R, n aus N eine Lösung in C hat? (also dass sie wirklich auch existiert?)
17.10.2010, 11:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich deine Frage verstanden, du suchst eine n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl vom Betrag 1. Geometrisch ist das nun nach unserer Vorarbeit kinderleicht. Die n-te Potenz ist die n-fache Rotation um den Nullpunkt mit dem Argument von z; eine n-te Wurzel ist also der n-te Teil des Arguments. $\begin{eqnarray} w=z^n=cos \phi+i \cdot sin\phi \Rightarrow z=\sqrt[n]w=cos \frac {\phi} n +i \cdot sin \frac {\phi} n \end{eqnarray}$ Nach dem (klassischen) Fundamentalsatz der Algebra hat diese Gleichung n Lösungen in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , es sind die Potenzen von dieser $\begin{eqnarray} \sqrt[n]w \end{eqnarray}$ , und sie teilen den Einheitskreis in n symmetrische Teile.
17.10.2010, 11:21	Sebii22	Auf diesen Beitrag antworten »
SUPER! =) Tut mit Leid, hab mich wohl etwas umständlich ausgedrückt.. Geometrisch habe ich genau dieselben Gedankengänge gemacht - algebraisch sah ich die Argumentation eben noch nicht - aber deine Erklärung ist sehr einleuchtend und hat mir meine letzten Zweifel genommen! Besten Dank!

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