Teststatistik & Konfidenzintervall zur Differenz zweier EW

16.10.2010, 10:21	NightmareVirus	Auf diesen Beitrag antworten »
Teststatistik & Konfidenzintervall zur Differenz zweier EW Meine Frage: Im Modell ( $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Y_1 \end{eqnarray}$ ), $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ ,( $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \stackrel{iid}{\sim} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N_2(\mu_1,\mu_2,1,1,\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mu_1,\mu_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , soll die Differenz der Erwartungswerte $\begin{eqnarray} \delta = \mu_1-\mu_2 \end{eqnarray}$ untersucht werden. (a) Formulieren Sie mittels einer geeigneten Teststatistik einen statistischen Test zum Niveau $\begin{eqnarray} \alpha \in (0,1) \end{eqnarray}$ für das Testproblem $\begin{eqnarray} H_0 : \delta \leq 0 \quad \leftrightarrow \quad \delta > 0 \end{eqnarray}$ Welche Schlussfolgerung können Sie aus dem Testergebnis ziehen, falls (i) der Test $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ verwirft? (ii) der Test $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ nicht verwirft? (b) Konstruieren Sie ein zweiseitiges (symmetrisches) $\begin{eqnarray} (1-\alpha) \end{eqnarray}$ -Konfidenzintervall für $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , und weisen Sie nach, dass Ihr Intervall das Konfidenzniveau einhält $\begin{eqnarray} (\alpha \in (0,1)) \end{eqnarray}$ . (c) Wenden Sie die Verfahren aus (a) und (b) mit $\begin{eqnarray} \alpha = 0,05 \end{eqnarray}$ auf den Datensatz $\begin{eqnarray} (5.8, 3.5), (6.1, 3.0), (6.2, 3.2), (5.8, 3.4), (6.5, 3.3) \end{eqnarray}$ an, und formulieren Sie Ihre Schlussfolgerung. Meine Ideen: Das ist die Aufgabe, die mir derzeit Probleme bereitet. Sie stammt aus einer alten Klausur, und da Montag die Wiederholungsklausur stattfindet will ich diese Aufgabe noch verstehen. \textbf{Zunächst zu Teil (a)} (i) Wenn der Test die Hypothese $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ verwirft, entscheiden wir uns für die Alternative $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ also würden wir folgern, dass $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ gilt. (ii) Wenn der Test die Hypothese $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ nicht verwirft, können wir keine Aussage treffen. \textbf{Zu Teil (b)} Hier liegt jetzt der Hund begraben Mein Problem ist: Ich finde im Skript einfach keine passende Formel für diese Aufgabenstellung. Ich muss ja ein Konfidenzintervall für die Differenz $\begin{eqnarray} \delta = \mu_1-\mu_2 \end{eqnarray}$ der Erwartungswerte zweier Normalverteilungen bei \textbf{bekannter} Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 = 1 \end{eqnarray}$ konstruieren. Ich finde aber nur Formeln für eine (normalverteilte) Strichprobe (also $\begin{eqnarray} X_1, \ldots, X_n \end{eqnarray}$ ) in allen erdenklichen Varianten ( $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ unbekant, $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ bekannt --- $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ bekannt, $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ unbekannt --- $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ unbekannt). Und den Fall für zwei (normalverteilte) Stichproben aber dann nur für unbekannte (gleiche) Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ . Hier ist jedoch die Varianz gegeben. Oder nehm ich einfach den letzten Fall und schätze nicht die Varianz, sondern nehme den bekannten Wert (hier also $\begin{eqnarray} \sigma^2=1 \end{eqnarray}$ ). Als nächstes habe ich gar keine Ahnung wie man ein Konfidenzniveau ausrechnet, nachweist oder sonst was \textbf{Zu Teil (c)} Aufgabenteil (c) konnte ich mit dem Gauß-Test einem Zweistichproben-Test für verbundene Stichproben lösen.
19.10.2010, 10:07	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teststatistik & Konfidenzintervall zur Differenz zweier EW Das ist zwar nicht schwer, aber doch eher Hochschulmathematik. Sei $\begin{eqnarray} Z_i=X_i-Y_i \end{eqnarray}$ Du kannst einen ganz normalen einseitigen Hypothesentest für den Mittelwert einer Normalverteilung machen, denn $\begin{eqnarray} Z_i \end{eqnarray}$ ist normalverteilt.. Dabei kannst du die Standardabweichung von $\begin{eqnarray} Z_i \end{eqnarray}$ als gegeben betrachten. Du musst sie nur aus den Standardabweichungen von $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ und dem Korrelationskoeffizienten $\begin{eqnarray} \rho = 1/2 \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ berechnen.

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