Niveaulinien (Höhenlinien)

16.10.2010, 10:36

seeigel

Niveaulinien (Höhenlinien)

Hallo,

ich seh bei meiner Aufgabe nicht durch bzw. weiß ich nicht, wie ich die lösen soll. Leider sagt mir das Thema auch nichts.

Hier mal die Aufgabe:

Skizzieren Sie für die Funktionen

a) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)= x-6 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)= 10-\sqrt{x^{2} +y^{2} } \end{eqnarray*}$

einige Niveaulinien (Höhenlinien)

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left(x,y\right) | f(x,y) =c \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , c fest) in der (x,y)-Ebene. Wählen Sie dazu 4-5 geeignete Werte von c aus. Schließen Sie von der Skizze auf das Vorliegen lokaler Minima oder Maxima.

Ich würde das jetz so verstehen, dass ich f(x,y)= c setze und Aufgabe a) z.B. so umstelle:

f(x,y) = x-6 -> f(x,y)=c
c= x-6
x= c+6

Ist das so richtig? Weiter weiß ich leider nicht. Wäre über Hilfe dankbar.

16.10.2010, 12:22

tigerbine

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RE: Niveaulinien (Höhenlinien)

Zitat:

Original von seeigel
Hallo,

ich seh bei meiner Aufgabe nicht durch bzw. weiß ich nicht, wie ich die lösen soll.

Das kann uns allen passieren. Augenzwinkern

Zitat:

Leider sagt mir das Thema auch nichts.

Du warst also nicht in der Vorlesung? Hast kein Buch? .... Augenzwinkern

Zitat:

Hier mal die Aufgabe:

Skizzieren Sie für die Funktionen

a) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)= x-6 \end{eqnarray*}$

einige Niveaulinien (Höhenlinien)

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left(x,y\right) | f(x,y) =c \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , c fest) in der (x,y)-Ebene. Wählen Sie dazu 4-5 geeignete Werte von c aus. Schließen Sie von der Skizze auf das Vorliegen lokaler Minima oder Maxima.

Es ist also für feste Höhe c die Menge der Urbilder zu diesem Funktionswert gesucht. Meist kann man die bei diesen Aufgaben auch schön in ein 2D Koordinatensystem malen. Man muss also für festes c eine Beziehung zwischen x und y herstellen, mit der man die Höhenlinie malen kann. Es muss nicht immer y in Abhängigkeit von x sein. Kann man auch andersrum machen. Auch muss man sich auf Fallunterscheidungen einstellen. Auch das Thema http://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_%28Mathematik%29 kann nützlich sein.

Wie sieht es nun hier aus? Bei (a) hängt f gar nicht von y ab. Was bedeutet das anschaulich?

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= x-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c= x-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x =c+6 \end{eqnarray*}$

Was sind das für Linien im xy-Koordinatensystem? Augenzwinkern

Wie ist es um lokale Extremwerte bestellt?

Hast du CAS Software? maple? matlab?

16.10.2010, 13:41

seeigel

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im buch habe ich schon nachgeguckt. aber da ist immer nur das bsp. mit $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} \end{eqnarray*}$ und das bringt mich nicht weiter.

bei c= x+6 enstehen geraden und diese haben keine extrema.

matlab oder maple habe ich nicht.

16.10.2010, 13:44

tigerbine

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Wenn die Höhenlinien nun Geraden sind.... Dann kannst du dir selbst mal in xyz-Koodinatensystem das Schaubild der Funktion malen. Lässt sich auch mit einem einfachen geometrischen Begriff Beschreiben. Kommst du schon drauf.

16.10.2010, 15:27

seeigel

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Ich komm gerade überhaupt nicht weiter. Irgendwie habe ich mich festgefahren, ich bekomme noch nicht mal das gezeichnet.

16.10.2010, 15:33

tigerbine

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Die Höhenlinien sind doch einfach Geraden parallel zur y-Achse. Nun ist der plot doch einfach eine schiefe Ebene.

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