Kreisbewegung konstanter Winkelgeschwindigkeit - Ableitung

16.10.2010, 11:53

Mosl

Kreisbewegung konstanter Winkelgeschwindigkeit - Ableitung

also:
gegeben ist die Formel
$\begin{eqnarray*} z(t) = rE(\omega*t) = r(\cos (\omega*t) + i \sin (\omega*t)) \end{eqnarray*}$
mit omega als winkelgeschwindigkeit und |z(t)|=r

dass ganze soll nach der zeit ,also nach t abgeleitet werden:
$\begin{eqnarray*} z *\frac{d}{dt}= r(- \omega * \sin( \omega*t) + i*\omega*\cos( \omega*t) \end{eqnarray*}$ das ganze wird dann umgeformt bis:
$\begin{eqnarray*} \omega*ri[\cos( \omega*t)+i*\sin( \omega *t)) \end{eqnarray*}$
rauskommt.

mein problem ist ich kapier nicht woher die vielen omegas herkommen!
und außerdem das i vor der klammer!

wäre toll wenn mir das jemand erklären könnte =)
(wenn möglich so dass ichs auch kapier^^)

MFG

16.10.2010, 12:39

wisili

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RE: kreisbewegung konstanter winkelgeschwindigkeit - Ableitung
$\begin{eqnarray*} r E(\omega*t) \end{eqnarray*}$ sollte wohl heissen $\begin{eqnarray*} r e^{i \omega t} \end{eqnarray*}$ .

16.10.2010, 12:45

Mosl

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RE: kreisbewegung konstanter winkelgeschwindigkeit - Ableitung
nenene des stimmt scho so wies dasteht!

des E is "Argument" von phi und als phi steht hier w*t

$\begin{eqnarray*} E(\phi)=(\cos(\phi)+i\sin(\phi) \end{eqnarray*}$

MFG Mosl

PS:http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl unter Polarform zeile 7

16.10.2010, 13:10

mYthos

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RE: kreisbewegung konstanter winkelgeschwindigkeit - Ableitung

Zitat:

Original von Mosl
nenene des stimmt scho so wies dasteht!

des E is "Argument" von phi und als phi steht hier w*t
...

Das stimmt eben NICHT.
Wenn du den Link genauer durchgelesen hättest, wärest du daraufgekommen, dass gerade diese deine Aussage falsch ist. E ist keineswegs das Argument. Dafür bleibt es beim Winkel!

mY+

16.10.2010, 13:22

Mosl

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RE: kreisbewegung konstanter winkelgeschwindigkeit - Ableitung
hmmm...
die rechnung steht aber exakt so im buch Oo

hmmm evtl steht es nicht fürs argument aber E(x)= cos(x)+ i*sin(x) da lieg ich doch richtig oder?

aber stimmt habt recht ist nicht das argument gibt halt die polarform an!

sry war mein fehler =)

aber die rechnung stimmt wie sie dortsteht =)

16.10.2010, 13:47

mYthos

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Ja, die Rechnung stimmt. E ist dabei nicht anderes als eine komplexe Exponentialfunktion mit dem Argumeni $\begin{eqnarray*} i \varphi \end{eqnarray*}$ .
Es wäre einfacher gewesen, die Exponentialfunktion, welche dir wisili angegeben hat, abzuleiten. Damit wäre dir auch klar geworden, woher das i als Faktor davor kommt, es gehört einfach zur inneren Ableitung nach der Kettenregel.

Bei der trigonometrischen Enwicklung wurde i ausgeklammert, dadurch wird der cos wieder zum Realteil und beim Sinus steht dann $\begin{eqnarray*} \frac 1 i = -i \end{eqnarray*}$ .

mY+

16.10.2010, 14:05

Mosl

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aaaa jetz komm ich mit =)

danke

die omegas kommen dann wohl auchvon der form richtig?

16.10.2010, 14:10

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls ein konstanter Faktor im Exponenten (oder bei der trigonometrischen Form auch im Winkel), daher ist es in die innere Ableitung einzubeziehen.

mY+

16.10.2010, 14:14

Mosl

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dank euch=)

jetz muss ich nur noch rausfinden wie die regel is wenn man was ableitet dass im exponenten steht

16.10.2010, 14:43

mYthos

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Ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} (e^{kx})'=k \cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a^{kx})'=\ln a \cdot k \cdot a^{kx} \end{eqnarray*}$

mY+

16.10.2010, 15:02

Mosl

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und wo kommt des ln dann bei meinen eingangsbeispiel hin?

16.10.2010, 16:29

mYthos

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Der ln(a) kommt ja nur bei einer Basis a ungleich e.
Bei der e-Funktion selbst erübrigt sich das (es ist ja ln(e) = 1).

mY+

17.10.2010, 11:58

Mosl

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achso macht sinn! danke für die hilfe =)