Differentialgleichung: Komplexe NST

16.10.2010, 13:26	Hartmut	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung: Komplexe NST Hallo, ich habe gerade eine Differenzialgleichung über den Exponentialansatz gelöst. Also Lösung der charakteristischen Gleichung erhalte ich: $\begin{eqnarray} \lambda_1=-1+3i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2=-1-3i \end{eqnarray}$ Also wäre die Lösung der Gleichung ja: $\begin{eqnarray} y=C_1\cdot e^{(-1+3i)\cdot x}+C_2\cdot e^{(-1-3i)\cdot x} \end{eqnarray}$ Nur wie forme ich dass jetzt in eine Lösung mit Sinus/Cosinus um? Das ist ja die Eulersche Darstellung. Was mich irritiert ist der real teil der Nullstelle. Gruß
16.10.2010, 13:34	Hartmut	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade noch etwas gelesen: demzufolge wäre die Lösung: $\begin{eqnarray} y=C_1 \cdot e^{-x}\cdot \sin(3x)+C_2 \cdot e^{-x}\cdot \cos(3x) \end{eqnarray}$ Nur wie leitet sich das her, dass ich genau einmal den Sinus und den Cosinus nehme= Ich kann das ja umschreiben: $\begin{eqnarray} e^{(-1+3i)x}=e^{-x}\cdot e^{3i\cdot x}=e^{-x}\cdot (\cos(3x)+i\cdot \sin(3x)) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} e^{(-1-3i)x}=e^{-x}\cdot e^{-3i\cdot x}=e^{-x}\cdot (\cos(-3x)+i\cdot \sin(-3x)) \end{eqnarray}$ Aber wieso nimmt man jetzt von der ersten einmal real und das andere mal imaginär teil?
16.10.2010, 14:46	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn du ein char. Polynom mit reellen Koeffizienten hast, dann tritt ja jede Nullstelle einmal komplex und einmal komplex konjugiert auf. Seien diese also $\begin{eqnarray} \lambda = a + ib, \overline{\lambda} = a-ib \end{eqnarray}$ Damit kannst du jetzt folgendes schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> e^{\lambda x} = e^{ax}(cos(bx) + isin(bx))<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> e^{\overline{\lambda}x} = e^{ax}(cos(bx) - isin(bx))<br /> \end{eqnarray}$ Demnach ist also: $\begin{eqnarray} <br /> e^{ax}cos(bx) = \frac{1}{2}(e^{\lambda x} + e^{\overline{\lambda}x})<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> e^{ax}sin(bx) = \frac{1}{2i}(e^{\lambda x} - e^{\overline{\lambda}x})<br /> \end{eqnarray}$ aufaddiert ergibt das also: $\begin{eqnarray} <br /> C_1e^{ax}cos(bx) + C_2e^{ax}sin(bx) = C_1\frac{1}{2}(e^{\lambda x} + e^{\overline{\lambda}x}) + C_2\frac{1}{2i}(e^{\lambda x} - e^{\overline{\lambda}x})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = \frac{1}{2}[ C_1 e^{\lambda x} + C_1 e^{\overline{\lambda} x} - iC_2e^{\lambda x} + iC_2e^{\overline{\lambda}x}] = \frac{C_1 - iC_2}{2}e^{\lambda x} + \frac{C_1+iC_2}{2}e^{\overline{\lambda}x} = C_3e^{\lambda x} + C_4e^{\overline{\lambda}x}<br /> \end{eqnarray}$ Also eine Linearkombination aus deinen Lösungen. Die Faktoren kannst du ja also $\begin{eqnarray} C_3 = \frac{C_1 - iC_2}{2}, C_4 = \frac{C_1+iC_2}{2} \end{eqnarray}$ setzen.

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