isotrope Vektoren bestimmen, symmetrisch, alternierend, ...

16.10.2010, 12:23

Claudia105

isotrope Vektoren bestimmen, symmetrisch, alternierend, ...

Hallo!

Ich übe gerade für eine Klausur und habe folgende Aufgabe:

Sei V:= Q².

In den Fällen G1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , G2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , G3 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bestimme man jeweils die Menge der isotropen Vektoren sowie den Linkssenkrechtraum von V und den Rechtssenkrechtraum von V bzgl. der Bilinearform $\begin{eqnarray*} \beta_{G} \end{eqnarray*}$ auf V.
Welche dieser Formen sind symmetrisch, welche alternierend und welche nicht ausgeartet.

Was ich bisher habe ist:

* symmetrisch lässt sich an der Matrix ablesen (Spiegelung an der Hauptdiagonalen, daher ist G1 symmetrisch, die anderen nicht

* schiefsymmetrisch lässt sich an der Matrix ablesen (Spiegelung an der Hauptdiagonalen mit Umkehrung des Vorzeichens, daher ist G2 schiefsymmetrisch, die anderen nicht

* aus schiefsymmetrisch folgt alternierend, da char Q $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 2 ist, daher ist G2 alternierend, die anderen nicht. [Ist es auch Voraussetzung, dass auf der Hauptdiagonalen nur 0 stehen?]

* die Bilinearform ist nicht ausgeartet, wenn die Matrix eine Determinate $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 hat, deshalb sind G1 und G3 nicht ausgeartet.

Ist das soweit alles richtig?

Mit den isotropen Vektoren komme ich leider gar nicht zu recht.

Ich weiß, dass isotrop bedeutet: <v|v> = 0 und der Linkssenkrechtraum ist definiert als { $\begin{eqnarray*} v|v \in V \forall w \in W: <v|w> = 0 \end{eqnarray*}$ }. Aussderm weiß ich, dass bei symmerischen Formen der Linkssenkrechtraum gleich dem Rechtssenkrechtraum ist.

Ich habe aber leider nicht verstanden, wie ich das nun ausreche.

Da G2 alterniernd ist, musste jeder Vektor isotrop sein. Aber was ist dann die Menge der isotropen Vektoren? Ganz Q? Und was sind die Räume, denn gleich können sie ja nicht sein, da die Matrix schiefsym. ist. Zu den anderen Matrizen fällt mir leider nichts ein.

Es wäre toll, wenn mir jemand das anschaulich und in kleinen Schritten erklären könnte.

16.10.2010, 21:49

Cugu

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Die erste Frage ist doch, was hat überhaupt $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ mit der Matrix $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zu tun.
Naja, es gilt doch (i.A. bis auf Koordinatenisomorphismen, die uns hier nicht stören, weil wir in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ die Standartbasis wählen...) $\begin{eqnarray*} \langle v , w \rangle=v^{T}Gw \end{eqnarray*}$ .
Wenn du das weißt, kannst du, wenn kein Satz zur Verfügung steht, zumindest noch rechnen...

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Wenn du nun die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=\langle v , v \rangle=v^{T}Gv \end{eqnarray*}$ lösen willst, so erhältst du nach dem Ausmultiplizieren $\begin{eqnarray*} g_{1,1}v_1^2+\big(g_{1,2}+g_{2,1}\big)v_1v_2+g_{2,2}v_2^2 \end{eqnarray*}$ .
Das ist bei $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ Matrizen im schlimmsten Fall eine quadratische Gleichung. Ich wüsste allerdings keinen Trick, wie man im allgemeinen Fall isotrope Vektoren ablesen kann.
Klar, wenn auf der Diagonalen nur Nullen stehen, dann ist das einfach...

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Die Senkrechträume hängen doch sehr eng mit den Eigenräumen zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zusammen. Ist nämlich $\begin{eqnarray*} 0=\langle v , w \rangle=v^{T}Gw \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} Gw \end{eqnarray*}$ der Nullvektor sein!
Also musst du $\begin{eqnarray*} Gw=0 \end{eqnarray*}$ lösen. Das ist ein lineares Gleichungssystem. Ist die Bilinearform nicht entartet, also die Matrix invertierbar, kommt nur der Nullvektor in Frage.

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Zitat:

die Bilinearform ist nicht ausgeartet, wenn die Matrix eine Determinate $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 hat, deshalb sind G1 und G3 nicht ausgeartet.

Wenn ich richtig rechne, dann ist das genau umgekehrt.

Zitat:

Da G2 alterniernd ist, musste jeder Vektor isotrop sein. Aber was ist dann die Menge der isotropen Vektoren? Ganz Q?

Ganz $\begin{eqnarray*} V=\mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und was sind die Räume, denn gleich können sie ja nicht sein, da die Matrix schiefsym.

Naja, ich glaube die Matrix ist invertierbar...

Zitat:

Zu den anderen Matrizen fällt mir leider nichts ein.

Rechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} \langle v , v \rangle=v^{T}Gv \end{eqnarray*}$ explizit aus!

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