Beweisen von Konvergenz und Grenzwert berechnen

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lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen von Konvergenz und Grenzwert berechnen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
Beweise, dass die folgende Reihe in \mathbb R konvergent sind und berechne ihren Grenzwert.



Uns wurde noch ein Tipp gegeben
Man schreibe mit zu bestimmenden Konstanten .



Meine Ideen:
mit dem Tipp kann ich leider nicht viel anfangen.
Ich weiß dadurch nicht mal mehr welches Kriterium ich anwenden soll, um zu beweisen, dass die Reihe konvergent ist.

Vielen Dank für eure Hilfe.

edit tmo: Latex-Klammern gesetzt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ignorieren wir doch erst mal den Tipp (der eignet sich um den Grenzwert zu bestimmen, die Konvergenz kannst du auch ohne ihn leicht zeigen) und wollen erstmal nur Konvergenz zeigen. Völlig egal wie der Grenzwert lautet.

Dazu kennst du doch bestimmt ein paar Kriterien. Versuch doch einfach mal eins davon anzuwenden.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das Quotientenkriterium anwenden, bin mir da aber überhaupt nicht sicher.

Wenn ich das mache (und richtig gerechnet habe) dann kommt bei mir raus, dass das ganze gegen 1 konvergiert.
stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll da gegen 1 konvergieren? Die Reihe? Da von der Reihe alle Summanden positiv sind und der 2. Summand = 6 ist, kann das schon nicht stimmen.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da habe ich wohl was falsch gemacht.
Stimmt es denn, dass ich das Quotientenkriertium anwenden kann?
Oder gibt es noch einen einfacheren Weg?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenkriterium ist ok.
 
 
Hans A. Plast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisen von Konvergenz und Grenzwert berechnen
Die Beachtung des Hinweises wäre trotzdem nicht verkehrt, da dies eine gesonderte Konvergenzuntersuchung hier überflüssig macht.

Sei

Betrachte nun die endliche Summe:








Wenn Du nun den wohlbekannten Grenzwert einbringst,
dann ist mit den Grenzwertsätzen schon alles klar
und zwar Grenzwert und Konvergenz.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisen von Konvergenz und Grenzwert berechnen
Schon klar. Aber hier scheint es auch mal sinnvoll zu sein, das Quotientenkriterium zu üben.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Schöne Komplettlösung, aber wie man sieht hatte es durchaus einen Sinn hier Konvergenz und Grenzwertbetrachtung nacheinander durchzuführen, da der Threadersteller offensichtlich noch Probleme damit hat.
Ich hab mir ja schon was dabei gedacht, nicht gleich auf den Hinweis einzugehen und klarsoweit ist ja auch entsprechend mitgezogen.

Normalerweise würde ich die Komplettlösung rauseditieren, aber der Threadersteller ist eh online und liest sie bestimmt gerade, dann halte ich mich hier mal raus. Du kannst das ja gerne zu Ende führen.
Hans A. Plast Auf diesen Beitrag antworten »

Insbesondere für einen Anfänger auf diesem Gebiet ist obige Ausführung, die doch nur die auf dem Hinweis basierende Zerlegung beinhaltet,
weit von einer Komplettlösung entfernt.
Meine Intention war es, dem Aufgabensteller die elementaren Umformungen abzunehmen und somit die Fokussierung auf das Wesentliche, nämlich den sauberen und formal korrekten Transfer der im Endlichen gemachten Überlegungen ins Unendliche, zu erleichtern.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe trotz der Lösung nochmal versucht, das Quotientenkriterium anzuwenden.
Ich bin mir aber immer sehr unsicher. Kann es sein dass da =1 rauskommt und somit laut der Definition keine Aussage über Divergenz oder Konvergenz gemacht werden kann??

Danke für eure Hilfe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da hast du was falsch gemacht.
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