Beweis der Dreiecksungleichung für einen Abstand, der via Maximumsnorm definiert ist

16.10.2010, 17:22

veni.vidi.vici

Beweis der Dreiecksungleichung für einen Abstand, der via Maximumsnorm definiert ist

Hallo matheboardler,

gegeben seien die drei Punkte $\begin{eqnarray*} P:=(a_1, b_1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Q:=(a_2, b_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X:=(a_3, b_3) \end{eqnarray*}$ . Der Abstand sei über die Maximumsnorm definiert. Für alle P,Q Element IR² gelte: $\begin{eqnarray*} d(P,Q) \leq d(P,X)+d(X,Q) \end{eqnarray*}$ . Dies soll gezeigt werden.

Lösungsansatz:
Ich hätte zunächst die schon gegebene Dreiecksungleichung in die Maximumsnorm umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} max(|a_1-a_2|,|b_1-b_2|) \leq max(|a_1-a_3|,|b_1-b_3|)+max(|a_3-a_2|,|b_3-b_2|) \end{eqnarray*}$

Anschließend würde ich komponentenweise die Dreiecksungleichung beweisen, d.h.:
$\begin{eqnarray*} |a_1-a_2| \leq |a_1-a_3|+|a_3-a_2| \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} |b_1-b_2| \leq |b_1-b_3|+|b_3-b_2| \end{eqnarray*}$

Was meint ihr dazu?

Viele Grüße,

veni.vidi.vici

16.10.2010, 23:25

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Anschließend würde ich komponentenweise die Dreiecksungleichung beweisen, d.h.: $\begin{eqnarray*} |a_1-a_2| \leq |a_1-a_3|+|a_3-a_2| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_1-b_2| \leq |b_1-b_3|+|b_3-b_2| \end{eqnarray*}$

Vermutlich gibt es da nicht viel zu zeigen, da das bekannt sein dürfte.

Aber im Grunde müsste das so gehen. Du musst es dann nur noch hinschreiben.
Es gilt
$\begin{eqnarray*} |a_1-a_2| \leq |a_1-a_3|+|a_3-a_2| \leq \max(|a_1-a_3|,|b_1-b_3|)+\max(|a_3-a_2|,|b_3-b_2|) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |b_1-b_2| \leq |b_1-b_3|+|b_3-b_2|\leq \max(|a_1-a_3|,|b_1-b_3|)+\max(|a_3-a_2|,|b_3-b_2|) \end{eqnarray*}$ ,
also auch
$\begin{eqnarray*} \max(|a_1-a_2|,|b_1-b_2|) \leq \max(|a_1-a_3|,|b_1-b_3|)+\max(|a_3-a_2|,|b_3-b_2|) \end{eqnarray*}$ .

16.10.2010, 23:47

veni.vidi.vici

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cugu,

vielen Dank für deine Antwort. Muss ich in diesem Fall auch keine Fallunterscheidung durchführen oder müsste ich die beiden Dreiecksungleichungen für die x- und die y-Komponente jeweils zusätzlich nachweisen?

Viele Grüße,

veni.vidi.vici

17.10.2010, 00:07

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib ruhig die Fallunterscheidung hin, die ich zwar auch gemacht habe, aber nicht als solche explizit erwähnt habe!
Schaden kann das zumindest nicht, wenngleich klar sein düfte, dass $\begin{eqnarray*} \max\{a,b\}\leq c \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} a\leq c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\leq c \end{eqnarray*}$ folgt.
Wenn man die Fallunterscheidung einmal macht, um sich das zu überlegen, dann muss man das nicht immer wieder.

Mit der Dreiecksungleichung für den Absolut-Betrag hat das nichts zu tun. Die würde ich einfach voraussetzen.
Bist du sicher, dass das nicht bekannt ist? Eigentlich macht man das ganz am Anfang von Ana I.

17.10.2010, 00:36

veni.vidi.vici

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis der Dreiecksungleichung für einen Abstand, der via Maximumsnorm definiert ist
Danke für deinen Tipp, jetzt ist alles klar.
Bei uns an der Uni hatten wir in der letzten Woche die Mathematik-Orientierungswoche, dabei wurde uns eine Analysis-Probevorlesung präsentiert mit Übungseinheit. Am Montag beginnen die offiziellen Vorlesungen.

Viele Grüße,

veni.vidi.vici

17.10.2010, 00:43

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann kann es nicht schaden, wenn du noch schnell $\begin{eqnarray*} |a+b|\leq |a|+|b| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigst.

Daraus folgt sofort

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |a_1-a_2| \leq |a_1-a_3|+|a_3-a_2| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_1-b_2| \leq |b_1-b_3|+|b_3-b_2| \end{eqnarray*}$

durch Umbennen.

17.10.2010, 16:06

veni.vidi.vici

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich das mit dem Word-Formeleditor schonmal aufnotiert (kenne mich noch nicht so gut mit LaTeX aus):

[attach]16275[/attach]

Nun muss man substituieren:

Erst für...
$\begin{eqnarray*} a:=a_1-a_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b:=a_3-a_2 \end{eqnarray*}$

dann für:
$\begin{eqnarray*} a:=b_1-b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b:=b_3-b_2 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Das wäre der Beweis, oder?

------------------------------------------------------

Ich hätte noch folgenden Beweis anzubieten:

$\begin{eqnarray*} |a+b| \leq |a| + |b|<br /> a,b \in R<br /> <br /> |a+b| \leq |a| + |b| \end{eqnarray*}$
quadrieren (Äquivalenzumformung, da Beträge stets positiv sind)!

$\begin{eqnarray*} a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|ab| + b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2ab \leq 2|ab| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab \leq |ab| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x:=a*b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq |x| \end{eqnarray*}$

1. Fall: x=0
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

2. Fall: x>0
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

3. Fall: x<0
$\begin{eqnarray*} x \leq -x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq -2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Was sagt ihr dazu?

Viele Grüße,

veni.vidi.vici

17.10.2010, 17:29

veni.vidi.vici

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall 3 beim zweiten Beweis sollte ein kleiner-Zeichen stehen, kein "kleiner-gleich-Zeichen".

Viele Grüße,

veni.vidi.vici

17.10.2010, 22:46

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den kleiner-Zeichen ist insgesamt ein Problem, weil du im ersten Beweis nicht alle möglichen Fälle betrachtet hast. Auf der anderen Seite kann man sehr viele Fälle zusammenfassen. Im Grunbe musst du doch nur zwischen $\begin{eqnarray*} a+b< 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b \geq 0 \end{eqnarray*}$ unterscheiden.
Mit deinen Äquivalenzzeichen solltest du aufpassen. Die sollten nur dort stehen, wo links und rechts äquivalente Aussagen stehen - z.B. gilt nicht $\begin{eqnarray*} a,b < 0 \Leftrightarrow -a-b \leq -a-b \end{eqnarray*}$ .

Der zweite Beweis ist gut.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis der Dreiecksungleichung für einen Abstand, der via Maximumsnorm definiert ist

Verwandte Themen