Untersuchung auf sup, inf, min, max

11.11.2006, 14:02

lonesome-dreamer

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Untersuchung auf sup, inf, min, max

Hallo zusammen,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} A=\left\{x+\frac{1}{x}\mid 0<x\leq42\ \right\} \end{eqnarray*}$
Die Menge soll auf sup, inf, max und min untersucht werden.

Meine Überlegungen sind Folgende:
Setzt man für x=42 ein, liegt der Wert außerhalb des Def. Bereichs und somt ist die Menge nicht nach oben beschränkt, also besitzt sie auch kein Supremum und kein Maximum.
Ist das so weit richtig?

Beim Infimum und beim Minimum komme ich allerdings nicht weiter
Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?

Gruß
Natalie

11.11.2006, 14:11

Dual Space

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RE: Untersuchung auf sup, inf, min, max

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Meine Überlegungen sind Folgende:
Setzt man für x=42 ein, liegt der Wert außerhalb des Def. Bereichs und somt ist die Menge nicht nach oben beschränkt, also besitzt sie auch kein Supremum und kein Maximum.
Ist das so weit richtig?

unglücklich

Nein, Das ist totaler Quatsch. Für x=42 erhältst du einen Wert und zwar $\begin{eqnarray*} 42+\frac{1}{42} \end{eqnarray*}$ . Das sagt aber nichts über Beschränktheit aus.

11.11.2006, 14:17

lonesome-dreamer

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Ok, danke.
Wie habe ich dann vorzugehen?

11.11.2006, 20:10

Abakus

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Was passiert im Bereich von 0 ? Kann der zu untersuchende Term zB negativ werden ? Wenn nein, was bedeutet das dann ?

Grüße Abakus smile

smile

12.11.2006, 11:54

lonesome-dreamer

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Der Term kann nicht negativ werden. Das bedeutet dann, dass die Menge nach unten beschränkt ist, oder?

12.11.2006, 14:42

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Der Term kann nicht negativ werden. Das bedeutet dann, dass die Menge nach unten beschränkt ist, oder?

Freude

Genau.

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12.11.2006, 15:04

lonesome-dreamer

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Also besitzt die Menge ein Infimum. Fragt sich nur wo genau das sein soll. Bei 0?
Und warum ist die Menge nicht nach oben beschränkt? Das Intervall geht ja nur bis 42.

12.11.2006, 15:14

Dual Space

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Schau dir doch mal an, welche Werte sich für x nahe Null ergeben.

12.11.2006, 16:34

lonesome-dreamer

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Zitat:

Schau dir doch mal an, welche Werte sich für x nahe Null ergeben.

Für x nahe Null ergibt sich 0. Dann ist das Infimum bei 0.

12.11.2006, 16:45

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Für x nahe Null ergibt sich 0.

Nein! x=0,001 lierfert zum Beispiel 1000,001.

12.11.2006, 17:05

lonesome-dreamer

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Upps, stimmt. Der Nenner wird ja immer kleiner.
Das heißt ja dann, dass der Wert für x nahe Null gegen Unendlich geht.

12.11.2006, 17:33

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Upps, stimmt. Der Nenner wird ja immer kleiner.
Das heißt ja dann, dass der Wert für x nahe Null gegen Unendlich geht.

Aha ... was bedeutet das also bzgl. der Beschränktheit nach oben?

12.11.2006, 18:38

lonesome-dreamer

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Ah. Jetzt versteh ich. Big Laugh

Big Laugh

Nach oben ist die Menge dann also unbeschränkt. Ergo, es existiert kein Supremum.

Jetzt noch Maximum und Minimum. Das versteh ich auch nicht so ganz. Es ist ja so, wenn $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und beschränkt ist, existiert ein Maximum bzw. ein Minimum.
Ich glaube, ich habe Probleme mit dem Begriff "abgeschlossen". Was heißt das?

Die Menge hier ist nach oben unbeschränkt, also gibt es auch kein Maximum.
Nach unten ist die Menge beschränkt, was aber noch nicht heißt, dass es auch ein Minimum gibt.

12.11.2006, 18:47

Dual Space

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Gut wir wissen also, dass A nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt ist. Also die Beschränktheit ist geklärt.

Versuch dich mal an der Abgeschlossenheit.

12.11.2006, 18:49

lonesome-dreamer

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Zitat:

Versuch dich mal an der Abgeschlossenheit.

Und genau da hab ich Probleme. Ich kann mit dem Begriff "abgeschlossen" nichts anfangen.
Hat das was mit dem Intervall zu tun?

12.11.2006, 20:02

Dual Space

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Also die Menge A ist doch nichts weiter als der Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,42] \end{eqnarray*}$ . Diesen Wertebereich solltest du jetzt ertsmal explizit ausrechnen (Kurvendiskussion) und dann stürzen wir uns auf die Abgeschlossenheit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2006, 20:11

lonesome-dreamer

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Ich würde sagen, der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ .

12.11.2006, 20:15

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Ich würde sagen, der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

Hää?

Also mal ein kleines Beispiel: Der Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ über dem intervall $\begin{eqnarray*} (0,3] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (0,9] \end{eqnarray*}$ .

12.11.2006, 20:20

lonesome-dreamer

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Zitat:

Der Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ über dem intervall $\begin{eqnarray*} (0,3] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (0,9] \end{eqnarray*}$ .

Das leuchtet mir ein. Wenn ich für x=42 einsetze, kommt $\begin{eqnarray*} 42+\frac{1}{42} \end{eqnarray*}$ raus, aber wenn die x-Werte gegen 0 gehen, wird der Wertebereich ja unendlich.
Deswegen dachte ich, dass der Wertebereich größer 0 ist.

12.11.2006, 20:25

Dual Space

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Bestimme doch bitte mal das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

12.11.2006, 21:41

lonesome-dreamer

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Das Minimum ist bei x=1. Also f(1)=2.

13.11.2006, 08:43

Dual Space

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Genau und damit (+der dem Wissen, dass es keine obere Schranke gibt+dem Wissen, dass die Funktion f stetig ist) haben wir also

$\begin{eqnarray*} A=\left\{x+\frac{1}{x}:x\in(0,42]\right\}=[2,\infty) \end{eqnarray*}$

Kannst du nun was über Abgeschlossenheit sagen?

13.11.2006, 20:17

lonesome-dreamer

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Zitat:

Kannst du nun was über Abgeschlossenheit sagen?

Ich weiß nicht, was "Abgeschlossenheit" bedeutet.
Ich verwechsle das, glaub ich, mit "Beschränktheit".
Heißt abgeschlossen vielleicht, dass das Intervall für den Wertebereich nicht beliebig groß, sondern eben "abgeschlossen" sein muss?
Wenn ich das dann so interpretiere, ist dieses Intervall nicht abgeschlossen, weil unendlich.
Bin mir aber überhaupt nicht sicher.

13.11.2006, 20:26

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Ich weiß nicht, was "Abgeschlossenheit" bedeutet.

http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossenheit

14.11.2006, 16:39

lonesome-dreamer

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Also, nachdem ich mir das bei wiki durchgelesen habe, komme ich zu dem Schluss, dass die Wertemenge abgeschlossen ist.
Das Intervall ist rechtsseitig unendlich abgeschlossen, wenn ich das richtig verstanden habe.

15.11.2006, 08:54

Dual Space

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Genau ... und was bedeutet das für Min und Max?

15.11.2006, 10:21

lonesome-dreamer

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Dass das Minimum gleich dem Infimum ist und kein Maximum existiert, da es kein Supremum gibt?

15.11.2006, 12:13

Dual Space

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Freude

Genau!

15.11.2006, 17:20

lonesome-dreamer

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Vielen Dank für deine Bemühungen. Das hab ich jetzt verstanden Big Laugh

Big Laugh

23.11.2006, 14:15

Legion

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Hallo!

Anhand dieser Aufgabe würde ich gerne testen, ob ich das Prinzip verstanden habe, mit welchem man Infimum und Supremum zeigen kann. Ich hoffe das ist erlaubt, da sich das eigentliche Problem schon erledigt hat.

$\begin{eqnarray*} A = \{ x + \frac{1}{x} | 0 < x\leq 42 \} = (2;\infty] \end{eqnarray*}$

Das Intervall der möglichen Werte legt nahe, dass 2 das Infimum ist.

Annahme: es existiert eine größere untere Schranke $\begin{eqnarray*} 2+\epsilon \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig).

Sei $\begin{eqnarray*} x:=2+\frac{\epsilon}{2} \in A \end{eqnarray*}$ . Dann kann $\begin{eqnarray*} 2+\epsilon \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} (2+\epsilon) > (2+\frac{\epsilon}{2} = x) > 2 \end{eqnarray*}$ keine untere Schranke sein. Da $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig war, gilt $\begin{eqnarray*} infA = 2 \end{eqnarray*}$ . Da 2 als Wert selbst nicht angenommen wird, gibt es kein Minimum.

-----------

Würde das so reichen, oder habe ich noch etwas missverstanden?

23.11.2006, 14:17

AD

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Zitat:

Original von Legion
Da 2 als Wert selbst nicht angenommen wird, gibt es kein Minimum.

Hast du mal x=1 eingesetzt???

23.11.2006, 15:51

Legion

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Wie überaus menschlich das Versagen! geschockt

geschockt

Der Wertebereich ist natürlich $\begin{eqnarray*} [2;\infty) \end{eqnarray*}$ . Also wird zwei selbstverständlich doch angenommen.

Danke!

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