Zerlegung der essentiellen Matrix

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Frix Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung der essentiellen Matrix
Hallo,

ich arbeite gerade ein wenig an Stereo-Vision, um genauer zu sein an Mono-Vision, denn ich möchte zur Rekonstruierung von Objekten nur eine einzige Kamera verwenden und die Strukturen der aufgenommenen Szenen durch Bewegungen ermittelt. Das ganze nennt sich dann "Structure from Motion".

Ich habe einen Punkt P im Raum, der von zwei Kameras aufgenommen wird. Da jede Kamera ihr eigenes Koordinatensystem hat, haben wir zwei verschiedene Koordinatenwerte für den Punkt P:


Man möchte nun das Koordinatensystem der rechten Kamera dem Koordinatensystem der linken Kamera anpassen. Dies geschieht durch eine Rotation R, sowie Translation T des Koordinatensystem der rechten Kamera. Aus anfänglichen Beziehungen, die hier nicht relevant sind ergibt sich folgende Beziehung:


R und T sind beides 3x3 Matrizen, wobei T folgendermaßen definiert ist:


Das Produkt RT wird somit als essentielle Matrix E definiert, die die physikalische Beziehung beider Kameras beschreibt, also die Rotation und Translation des Koordinatensystem der rechten Kamera, die es auf das Koordinatensystem der linken Kamera abbildet:


Desweiteren gibt es eine weitere Matrix, die sogennanten Fundamental Matrix F, die folgendermaßen definiert ist:



Mir sind nur die Fundamental Matrix F und die Matrizen Mr und Ml gegeben. Nun möchte ich aber aus der Fundamentalmatrix die Rotations und die Translation extrahieren.
Wenn ich mich nicht irre kann ich auf die essentielle Matrix kommen, wenn ich

berechne.
Nun stellt sich mir die Frage wie man aus E R und T gewinnt und ob es überhaupt möglich ist.
Kalibriert man nämlich beide Kameras mit einem Schachbrett als Beispiel, so kann man für jeden Punkt auf dem Schachbrett eine Weltkoordinate angeben, dadurch lässt sich R und T berechnen, aber bei der Kalibrierung mittels Punktkorrespondenzen in beiden Bildern sind keine Weltkoordinaten angegeben. Ist dann also eine Berechnung von R und T überhaupt möglich.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rpckfragen.
Warum das doppelte Invertieren? Wegen der theoretischen Herleitung? Warum wird nicht vereinfacht?



http://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4...x#Eigenschaften

(*)

Fest war der Zusammenhang:



Die M-Matrizen sind also regulär/invertierbar. Auflösen nach E liefert auch (*). Nun möchtest du Aber nicht E, sondern 2 Matrizen mit



Du hast zwar noch Beziehungen hingeschrieben, aber was davon kennst du konkret? Hat R einen bestimmen Aufbau? Kennst du die P?
Frix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe



geschrieben, weil es auf den ersten Blick für mich erstmal ersichtlicher ist. ^^

Die Matrix R beschreibt eine Rotation im Raum und hat somit die drei Rotationswinkel als Variablen.Der Aufbau ist dann wie folgt:


Insgesamt haben R und T also sechs Variablen, drei Rotationswinkel und drei Translationswerte.

Die Punkte sind mir nicht bekannt und werden auch nicht zur Kalibrierung der Kamera herangezogen. Allein durch Punktkorrespondenzen in beiden aufgenommenen Bilder wird die Matrix berechnet.
Die Ermittlung der Kameraparameter wird im vornherein gemacht, sodass die Matrizen und gegeben sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frix
Die Matrix R beschreibt eine Rotation im Raum und hat somit die drei Rotationswinkel als Variablen.Der Aufbau ist dann wie folgt:



Das ist erst mal nur allgemein eine Matrix. So haben wir 3² + 3 = 12 Unbekannte. In E aber nur 3² Einträge. Da kommen wir nicht auf was eindeutiges. Uns fehlen 3 weitere Bedingungen.

Eine 3x3 Rotationsmatrix ist von Aufbau:
http://www.grundstudium.info/animation/node14.php

Zitat:
Insgesamt haben R und T also sechs Variablen, drei Rotationswinkel und drei Translationswerte.

Schreib R dann mal bitte so auf, dass das auch stimmt. Augenzwinkern
Frix Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man alle Rotationsmatrizen in der Achsenreihenfolge x, y, z multipliziert, dann sollte da so eine unschöne Matrix bei rauskommen, wenn ich mich nicht verrechnet habe^^:
http://www.imagebanana.com/view/8ig3zui0/16102010077.jpg

und sind dann die drei Unbekannten in der Rotationsmatrix.

EDIT: Mit dem Link sollte es ebenfalls gehen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Auf dem Thumbnail kann ich gar nix lesen.

Bitte als Anhang hier einfügen. Button Dateianhang.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Edit wird mir doch nicht als neuer Beitrag angezeigt.

Wir suchen also



Der Zusammenhang ist durch



gegeben. Das ist - wenn man sich die Gleichungen raus schreibt - ein nichtlineares Gleichungssystem. Da würde mir zu erst mal der Gedanke kommen, da ein numerisches Verfahren zu verwenden.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ngssysteme2.htm
http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_numer...eichungssysteme

Eine schöne Vereinfachung für eine Rechnung von Hand sehe ich im Moment nicht. Vielleicht sieht ja ein Kollege was.
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