Bestimmen ob Mengen offen/abgeschlossen sind

16.10.2010, 23:13

lego

Bestimmen ob Mengen offen/abgeschlossen sind

Welche der folgenden Mengen sind offen, abgeschlossen oder keines von beiden in IR?

$\begin{eqnarray*} A=\left\{\frac{1}{n}:n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\left\{\frac{1}{n}:n\geq 1\right\}\cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung sieht wie folgt aus, wäre nett wenn jemand mal drüberschaut, vor allem beim 4ten Teil bin ich mir unsicher.

A nicht offen, Beweis indirekt:

angenommen A wäre offen, dann gäbe es $\begin{eqnarray*} \forall a \in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon_a>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon_a)=(a-\epsilon_a,a+\epsilon_a) \subset A \end{eqnarray*}$

nun betrachte ich a=1, da $\begin{eqnarray*} \epsilon_a>0 \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} a+\epsilon_a \end{eqnarray*}$ nicht mehr in A.

Widerspruch

A nicht abgeschlossen, Beweis indirekt:

angenommen A wäre abgeschlossen, dann wäre IR\A offen und es gäbe $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \setminus A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon_x>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon_x)=(x-\epsilon_x,x+\epsilon_x) \subset \mathbb R \setminus A \end{eqnarray*}$

nun betrachte ich x=0, $\begin{eqnarray*} (-\epsilon_x,\epsilon_x) \subset \mathbb R \setminus A \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \forall n > \frac{1}{\epsilon_x} \end{eqnarray*}$ liegt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (-\epsilon_x,\epsilon_x) \end{eqnarray*}$

Wiederspruch

B ist nicht offen, Beweis analog zu A nicht offen

B ist abgeschlossen:

will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus B \end{eqnarray*}$ offen ist. Es gibt also zu jedem $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \setminus B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon_y>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (y-\epsilon_y,y+\epsilon_y) \subset \mathbb R \setminus B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,\infty) \end{eqnarray*}$ sind offene Intervalle, die sind uninteressant, es gilt also noch zu zeigen, dass die Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus B \end{eqnarray*}$ in [0,1] alle offen sind.

dazu wähle ich meine Epsilon wie folgt, je nachdem ob y näher an 1/n oder 1/(n+1) liegt:

für $\begin{eqnarray*} | y-\frac{1}{n} |<| y-\frac{1}{n+1}|:\epsilon_y<\frac{1}{n}-y \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} | y-\frac{1}{n} |>| y-\frac{1}{n+1}|:\epsilon_y<\frac{1}{n+1}-y \end{eqnarray*}$

somit liegen die offenen Kugeln $\begin{eqnarray*} (y-\epsilon_y,y+\epsilon_y) \end{eqnarray*}$ auf jeden fall zwischen 1/n und 1/(n+1)

passt das so?

17.10.2010, 00:33

Cugu

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Wenn ich das korrigieren müsste, würde ich hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \epsilon_y<\frac{1}{n+1}-y \end{eqnarray*}$

auf der rechten Seite Betragsstriche reinmalen und dann abhaken. Das wäre Zeitverschwendug alles genaustens zu lesen, um kleine Ungenauigkeiten zu finden. Das Vorgehen erscheint mir legitim und formal ist das auch ok.
------
Ich sehen gerade, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a+\epsilon_a \end{eqnarray*}$

gar nicht in A sein müsste, da die Kugel offen ist. Nimm $\begin{eqnarray*} a+0.5\epsilon_a \end{eqnarray*}$ oder so...
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Wenn du an dem vierten Teil noch etwa feilen willst, solltest du zunächst explizit erwähnen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ geben muss mit $\begin{eqnarray*} y\in (\tfrac{1}{n+1},\tfrac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ .
Und dann kannst du noch mit $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon_y<\min(...) \end{eqnarray*}$ die beiden Zeilen zu einer zusammenfassen.

------
Man kann übrigens $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen einfacher zeigen, wenn man mit Folgen argumentiert, aber man muss das nicht.

17.10.2010, 02:47

lego

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super, werde dein punkte noch ausbessern

das mit den folgen hab ich auch schon gehört, da wir aber im skriptum noch nicht so weit sind, mach ichs einfach mal so

vielen dank

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