Schnitt und Vereinigung im Intervall

16.10.2010, 23:38

Lockenmatte

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Schnitt und Vereinigung im Intervall

Meine Frage:
ich soll mit Beweis die Mengen bestimmen: $\begin{eqnarray*} \cap i\in \mathbb N \left[- \frac{1}{i} , \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cup i\in \mathbb N \left[- \frac{1}{i} , \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ bestimmen. Ich habe keine anfangsidee..

Meine Ideen:
die Menge beim Schnitt liegt zwischen -1 und 1 und bei der Vereinigung ebenso im Intervall -1 bis 1...Beim Schnitt gilt: für alle i aus N ...und bei der Vereinigung gilt :es existiert ein i aus N...mehr geht nicht. Ich brauche die richtigen Fragen

16.10.2010, 23:56

Cugu

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Nimm einen einen Stift und zeichne die Intervalle für ein paar $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ auf ein Blatt Papier. Dann solltest du auch eine Idee haben, was heraus kommen soll.
Wenn du das weißt, dann können wir überlegen, wie man das beweist.

17.10.2010, 00:05

Lockenmatte

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Schön, dass noch einer wach ist.
also: ich habe jetzt für i mal 1, 2, 3, 4, 5 eingegeben. auf dem Zahlenstrahl hoffe ich sollte das geschehen.Ich weiss jedoch nicht, was das mit dem Schnitt und der Vereinigung auf sich hat. Habe ich bei der Vereinigung alles im Intervall bei i= 1 von -1 bis +1 und beim Schnitt nur jeweils die -1 und die +1?

17.10.2010, 01:18

TommyAngelo

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Du schneidest ja Intervalle, also Zahlenbereiche. Was ist denn z.B. der Schnitt von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ ?

17.10.2010, 01:32

Cugu

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Zitat:

beim Schnitt nur jeweils die -1 und die +1?

Sind für $\begin{eqnarray*} i=2,...,5 \end{eqnarray*}$ denn überhaupt $\begin{eqnarray*} -1\in\mathbb N \left[- \frac{1}{i} , \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +1\in \mathbb N \left[- \frac{1}{i} , \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ ?
Wenn nein, dann können sie nicht im Schnitt liegen! Denn du hast selbst gesagt, dass

Zitat:

Beim Schnitt gilt: für alle i aus N

Was passiert denn mit den Intervallen, wenn du i vergrößerst? Werden die größer? Werden die kleiner? Liegen die Intervalle ineinander?

Betrachte ruhig zunächst nur $\begin{eqnarray*} i=1,2 \end{eqnarray*}$ , also TommyAngelos Vorschlag:

Zitat:

Was ist denn z.B. der Schnitt von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ ?

17.10.2010, 13:23

Lockenmatte

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Schnitt im Intervall
danke für die nächtliche Antwort. Ich war dann doch schon weg....
Also der Schnitt von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ ist doch genau $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ , oder?
Wenn sich i vergrößert, dann wird das Intervall - die Zahl- kleiner, da es sich um einen Bruch handelt.

Bei der Vereinigung ist es das Intervall von -1 bis 1?

Ich glaube, ich sehe es jetzt - falls das oben richtig ist.

Kannst du mir weitere Fragen stellen, die ich mir stellen müsste, damit ich weiter komme?

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17.10.2010, 13:34

kiste

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Ja alles richtig so.

Jetzt musst du eben eine Vermutung aufstellen was die Schnittmenge später sein könnte. Falls du eine Vermutung hast, beweise diese.

17.10.2010, 13:55

Lockenmatte

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meine Vermutung lautet: der Schnitt $\begin{eqnarray*} \cap i \in \mathbb N = \left[- \frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right] \end{eqnarray*}$

jetzt versuche ich es für (n+1) mahct das Sinn?

17.10.2010, 14:37

TommyAngelo

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RE: Schnitt im Intervall

Zitat:

Original von Lockenmatte
Wenn sich i vergrößert, dann wird das Intervall - die Zahl- kleiner, da es sich um einen Bruch handelt.

Richtig. Wir haben unendlich viele Intervalle, die nach und nach immer kleiner werden. Merkst du was?

17.10.2010, 15:26

Lockenmatte

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RE: Schnitt im Intervall
hallo, kannst du mir noch eine andere Frage stellen, bitte? Unendlich viele Intervalle, die immer kleiner werden, somit wir auch der Schnitt immer kleiner. Aber was sagt mir das und was soll ich da beweisen? Kannst du mir noch Fragen stellen, auf die ich nicht komme?

17.10.2010, 15:42

TommyAngelo

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Wenn du dir den Schnitt zweier nacheinanderfolgender Intervalle allgemein anschaust:

$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{i},\frac{1}{i}\right] \cap \left[-\frac{1}{i+1},\frac{1}{i+1}\right] \end{eqnarray*}$

was kannst du dann sagen?
Du weißt ja, dass die nachfolgende Menge immer Teilmenge des Vorgängers ist, d.h. wenn ich eine Menge mit einer Teilmenge schneide, was für eine Menge erhalte ich dann?

17.10.2010, 15:59

Lockenmatte

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der Schnitt ist die Teilmenge...
(ich glaube, ich stehe auf der Leitung)

17.10.2010, 17:15

TommyAngelo

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Genau. Und was ist, wenn i gegen unendlich geht? Du schneidest ja unendlich viele Mengen.

17.10.2010, 17:25

Lockenmatte

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....tangiert gegen Null ..(?)

17.10.2010, 17:31

TommyAngelo

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Es geht gegen {0}, richtig.

17.10.2010, 17:37

Lockenmatte

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Gut. Kann ich noch eine Frage gestellt bekommen, die ich mir selber stellen muss, damit ich weiss, wie ich das beweisen soll? Sprich: wie fange ich es an, dies zu beweisen?

Mit welcher Frage komme ich weiter?

17.10.2010, 23:00

Cugu

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Naja, die erste Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} 0 \in \left[- \frac{1}{i} , \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Dazu musst - nach Definition des Intervalls - prüfen, ob $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{i}\leq 0 \leq \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ gilt.

-------

Dann musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ das einzige Element des Schnitts ist. Genau das ist ja deine Vermutung.
Dazu nimmst du an, dass $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in allen Intervallen der Form $\begin{eqnarray*} \left[- \frac{1}{i} , \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ enthalten?
Dazu musst - nach Definition des Intervalls - prüfen, ob - $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{i}\leq x \leq \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ gilt. Archimedes könnte helfen...

19.10.2010, 22:33

Lockenmatte

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hallo matheboarder
ich komme nicht weiter....kann man es noch leichter formulieren, sprich weniger voraussetzen?

19.10.2010, 22:42

kiste

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Noch leichter?
Der Beweis ist doch bereits einfach:
Nehme ein x was nicht 0 ist. Das hat dann nen Abstand zu 0. Wir schneiden aber Intervalle mit Elementen der Abstand von 0 sich immer mehr verkleinert. Insbesondere wird der Abstand der Elemente des Intervalls irgendwann einmal kleiner als der Abstand von x zu 0. Also kann x nicht im Durchschnitt sein.

19.10.2010, 22:48

Lockenmatte

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auch wenn es peinlich wird: was nehme ich für i und was für x ?
Gott

Gott

19.10.2010, 23:08

kiste

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x beliebig aber nicht 0. i so groß dass 1/|x| > 1/i

20.10.2010, 10:45

Nadelspitze

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Verstehe es auch aber das Schreiben ist mal wieder das große Problem...

Es gilt ja eigentlich nur zu beweisen, dass 0 nicht im Intervall ist oder?

kann ich dann auch sagen

$\begin{eqnarray*} i\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1<0<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{1}{i} < 0 < \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

-> Null ist das Einzige Element was nicht im Intervall ist und deswegen nicht im Durchschnitt liegt?

20.10.2010, 17:07

TommyAngelo

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Du willst doch eben zeigen, dass 0 das einzige Element der Schnittmenge ist.

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