gewöhnliche DGL mit Betrag

17.10.2010, 10:35

Tarnfara

gewöhnliche DGL mit Betrag

Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} y' = \sqrt{|y|} \end{eqnarray*}$ auf R.

Ich habe gedacht, dass ich eine Fallunterscheidung machen muss, allerdings bekomme ich für negative y Blödsinn heraus.

Erstmal habe ich gedacht, dass y = 0 eine Lösung ist.

Für y>0 dann |y| = y

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{\sqrt{y}} = dt \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \sqrt {y} = \frac{t}{2}+ c \end{eqnarray*}$

Und damit $\begin{eqnarray*} y = \left( \frac{t}{2}+ c \right)^2 \end{eqnarray*}$

Aber für y<0 bekomme ich dann analog $\begin{eqnarray*} y = - \left( \frac{t}{2}+ c \right)^2 \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich ableite bekomme ich: $\begin{eqnarray*} \left( - \left( \frac{t}{2}+ c \right)^2 \right)' = - \left( \frac{t}{2}+ c \right) \ne \left( \frac{t}{2}+ c \right) = \sqrt{ \left| - \left( \frac{t}{2}+ c \right)^2 \right| } \end{eqnarray*}$

Was mache ich alles falsch?

Liebe Grüße

17.10.2010, 12:10

wisili

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag

Zitat:

Original von Tarnfara
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt {y} = \frac{t}{2}+ c \end{eqnarray*}$ . Und damit $\begin{eqnarray*} y = \left( \frac{t}{2}+ c \right)^2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung links gilt nur, wenn die rechte Seite nichtnegativ ist, d.h. wenn t >= -2c.
Analoges gilt im Fall y<0: t < -2c.

Deshalb ist auch der Klammerwert (t/2+c) in deiner letzten Zeile negativ und somit dein letztes Gleichheitszeichen falsch.
(Es gilt sozusagen $\begin{eqnarray*} -a = \sqrt{a^{2} } \end{eqnarray*}$ , weil a negativ ist.)

Uebrigens: Du löst die Diff.gleichung mit Variablentrennung und bringst deshalb y in den Nenner. Der Fall y=0 muss somit separat untersucht werden und führt auf «zusammengesetzte» Lösungen:

[attach]16273[/attach]

17.10.2010, 14:47

Tarnfara

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Also bekomme ich soetwas:

$\begin{eqnarray*} y(t)=\begin{cases} \left( \frac{t}{2} + c \right)^2 & \text{für} t > -2c \ - \left( \frac{t}{2} + c \right)^2 & \text{für } t< -2c \ 0, & \text {sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und außerdem kann ich die beiden Parabeläste links und rechts an ein beliebig langes Intervall hängen, wo y = -2c ist ?

Grüße

17.10.2010, 15:00

wisili

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
- Du solltest zwei verschiedene c verwenden: c1 >= c2.

- Unendlich für c1 und/oder minus-unendlich für c2 sind zulässig
(d.h. einer oder beide Parabeläste können wegfallen.)

- Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. (y=-2c= const. geht nur für c=0.)

17.10.2010, 15:58

Tarnfara

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag

Zitat:

Original von wisili
- Du solltest zwei verschiedene c verwenden: c1 >= c2.

Ich verstehe nicht. c ist doch vom Anfangswert abhängig ?

Genauer: $\begin{eqnarray*} c = - \frac {t_0}{2} + \sqrt y_0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

- Unendlich für c1 und/oder minus-unendlich für c2 sind zulässig
(d.h. einer oder beide Parabeläste können wegfallen.)

- Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. (y=-2c= const. geht nur für c=0.)

Ich habe mich vertan. y = -2c erfüllt nur die DGL, wenn c = 0 ist.

Was ich meinte war, ich kann beliebig viele Lösungen konstruieren, indem ich y = 0 an beliebiger Stelle (nur nicht 0) durch den rechten bzw linken Parabelast von

$\begin{eqnarray*} \frac {t^2}{4} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} - \frac{t^2}{4} \end{eqnarray*}$ ergänze. Eben eine Lösung zusammensetze.

Also die Äste aus dem Ursprung ans Ende meines Intervalls, wo y = 0 ist, verschiebe. Meinst du vielleicht das mit c_1 und c_2 ? (Die Verschiebung erfolgt ja durch Addition geeigneter Konstanten. Notiz an mich selbst, das ist ne Verschiebung nach oben ...

Nächster Versuch:

$\begin{eqnarray*} y(t)=\begin{cases} \left( \frac{t}{2} + c_1 \right)^2 & \text{für } t \ge -2c_1 \ - \left( \frac{t}{2} + c_2 \right)^2 & \text{für } t \le -2 c_2 \ 0 & \text {sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} c_2 \ge c_1 , c_1, c_2 \in \mathbb R \cup \{+\infty , - \infty \} \end{eqnarray*}$

17.10.2010, 16:40

wisili

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Die letzte Zeile y(t) = ... ist perfekt. (Die Sache mit den +/- unendlichen Konstanten habe ich äusserst salopp formuliert, und sollte in Form von mehreren Fällen dargestellt werden.)
Die c haben eine Parabelverschiebung nach links/rechts zur Folge, der Scheitel bleibt dabei auf der t-Achse.

Die Anfangswerte betreffend: Es gibt hier pro Ausgangspunkt (t0,y0) nicht nur EINE spezielle Lösung, sondern aufgrund des «Zusammensetzens» eine ganze Schar. Für y0>0 wird nur c1 festgelegt, für y0<0 wird nur c2 festgelegt und für y0=0 wird noch gar keine der beiden Konstanten festgelegt.

Das alles mag ungewohnt sein und liegt letztlich an der Quadratwurzelfunktion, die NICHT Lipschitz-stetig ist.

17.10.2010, 17:17

Tarnfara

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Alles klar, danke! Habe noch angefügt, dass c_1 bzw. c_2 nicht +/- unendlich sein dürfen in den Zeilen, wo die Funktion angegeben ist. Das müsste dann passen.

Ich habe hier noch eine DGL als Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \dot y = e^y \cos x \end{eqnarray*}$

Was mich komplett verwirrt ist:
Der Punkt bedeutet ja normalerweise eine Ableitung nach der Zeit (also t). Hier taucht aber ein cos x auf. Habe ich jetzt eine Funktion von R^2 -> R oder wie muss ich das verstehen?

17.10.2010, 17:30

wisili

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Du hast recht: Der Punkt wird meines Wissens strikt nur für die zeitliche Variable verwendet.
1. Deutung: cos x ist zeitlich konstant, verhält sich also wie ein Zahlfaktor.
2. Deutung: x ist hier die Zeit.

Es ist beides bequem lösbar.

17.10.2010, 18:01

Tarnfara

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Okay, ich entscheide mich mal für Variante 2. (ich soll für jedes Intervall in R alle Lösungen auf diesem Intervall angeben)

Zunächst gilt $\begin{eqnarray*} \dot y = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = k \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Dann trenne ich wieder Variablen und integriere ( einen anderen Ansatz - außer raten- kenne ich übrigens nicht, von daher ist die Entscheidung nicht schwer.) und komme auf

$\begin{eqnarray*} y = - \ln {(- \sin x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt sitze ich hier und gucke komisch aus der Wäsche. Unter der Voraussetzung, dass der ln vom sin überhaupt definiert ist, komme ich ja beim Ableiten auf $\begin{eqnarray*} \frac{ \cos x}{- \sin x} \end{eqnarray*}$ und das ist nicht meine gewünschte Ableitung, also muss irgendwo ein Fehler sein... <<

17.10.2010, 18:16

wisili

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Die Integrationskonstante fehlt noch: y = - ln(c-sin x).
Berechne anschliessend mit der gefundenen Lösung den Term e^y.
(Man muss dabei wissen: e^(- ln u) = 1/(e^ln u) = 1/u.)

17.10.2010, 18:44

Tarnfara

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Hammer

Das ist also schonmal überall da eine Lösung, wo C-sin x > 0 gilt.

Kann ich jetzt sagen, dass es keine Lösung gibt, wenn C-sinx <= 0 ist, weil ich ja eine eindeutige Lösung bekomme, sofern g(y) = e^y auf dem betrachteten Intervall ständig ungleich null ist? Was ja wiederum der Fall ist, da die e Funktion nicht null wird.

17.10.2010, 20:43

wisili

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Ja. Die folgenden Graphen (von oben nach unten) haben c=-0.8, -0.6, ... , -0.2, 0, 0.2, ... , 1.8, 2:

[attach]16279[/attach]

17.10.2010, 21:14

Tarnfara

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RE: gewöhnliche DGL mit Betrag
Spitzengraph ! Jetzt muss ich nur noch das mit der Periode in den Griff kriegen, aber ich habe ja noch bis Donnerstag Zeit, das selbst herauszufinden.

Besten Dank!

26.04.2012, 19:57

steviehawk

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Hallo, ich habe gerade diesen Post gelesen und Frage mich, warum bei der ersten DGL, also diese mit dem |y| und so, in der Lösung immer ein Teil des Parabelasts wegfliegt??

Kann mir das noch einer sagen??

Danke

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