Fehlerabschätzung über Leibnitskriterium in der Numerik

17.10.2010, 11:04	Numerikanfänger	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerabschätzung über Leibnitskriterium in der Numerik Meine Frage: Hallo Leute. Ich habe mal eine kleine Frage zur numerischen Mathematik. Ich soll über eine Reihenentwicklung einen Approximationswert für log(1.5) berechnen, mit einem theoretisch gesicherten Fehler < $\begin{eqnarray} 10^{-8} \end{eqnarray}$ . Die Reihe ist $\begin{eqnarray} log(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{(x-1)^{n} }{n} \end{eqnarray}$ Beim Leibnitzkriterium muss dann ja folglich in diesem Fall gelten: $\begin{eqnarray} a_{n+1} \leq 10^{-8} \end{eqnarray}$ Aus der Reihe ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{(x-1)^{n} }{n} \end{eqnarray}$ Wenn man nun x=1.5 setzt ergibt sich: $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{1}{2^{n}\cdot n} \end{eqnarray}$ Nun kommt meine Frage, wenn man die Bedingung $\begin{eqnarray} a_{n+1} \leq 10^{-8} \end{eqnarray}$ erfüllen will. Muss man jetzt einfach für n = n+1 einsetzen ? Ich war der Meinung, dass wir im Unterreicht für n = N+1 eingesetzt haben. Kann das sein ? Meine Ideen: Man könnte dann ja eine Wertetabelle erstellen und schauen bei welchem n (oder N?) der Wert kleiner als $\begin{eqnarray} 10^{-8} \end{eqnarray}$ ist. Würde das dann heißen, dass nach n (oder N?) Summanden ein Approximationswert für log(1.5) erreicht ist, der einen absoluten Fehler kleiner als $\begin{eqnarray} 10^{-8} \end{eqnarray}$ beinhaltet ? Muss das morgen schon abgeben. Wäre super, wenn mir noch jemand helfen könnte. Vielen Dank im Voraus. Beste Grüße Numerikanfänger

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