allgemeine bernoullische ungleichung

11.11.2006, 14:37

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

allgemeine bernoullische ungleichung

Hallo

Ich soll die verallgemeinerung der Bernoulli Ungleichung beweisen mittels Vollständiger Induktion
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n~k > 1 + \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$

Es gelten noch folgende Bedingungen $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ und ist k immer größer als -1

mein IS mit n = 2 und x1 = 1 und x2 = 1 ergibt ja

(1+1)*(1+1) = 1+1+1+ und ist ja somit wahr

Wenn ich nun meine IA für n+1 aufstelle mit
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n~k *(1+k) > 1 + \sum_{k=1}^n~k + k \end{eqnarray*}$ komme ich irgerndwie nicht so richtig weiter kann mir vielleicht jemand weiterhelfen ?? Oder ist mein Induktionsschritt den ich aufgestellt habe schon falsch ??

11.11.2006, 15:29

Geistermeister

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Induktionsschritt machen willst, musst du zur Summe
ein k+1 dazuaddieren. Du hast nur ein k dazuaddiert!
Dann musst du die Summe auflösen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{n} a*k+b = a*\frac{(n+1)n}{2} + b*n \end{eqnarray*}$
Dann kannst du die binomische Formel anwenden.
Das Produkt kannst du so berechnen:
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n} k*(k+c) = n!*(n+c)! \end{eqnarray*}$
Und für die Division von Fakultäten gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+c)!}{n+c} = (n+c-1)! \end{eqnarray*}$

11.11.2006, 16:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es nicht eher um folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n~(1+x_k)>1+\sum_{k=1}^n~x_k \end{eqnarray*}$ ,

wenn alle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ das gleiche Vorzeichen haben und immer $\begin{eqnarray*} 0\neq x_k>-1 \end{eqnarray*}$ gilt? Das kenne ich zumindest unter der verallgemeinerten bernoullischen Ungleichung.

Gruß MSS

12.11.2006, 09:15

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry die verbesserung die mathespezialschüler vorgeschlagen hat stimmt so sieht die formel eigentlich aus dann funktioniert der vorschlag von geistermeister wohl leider nicht mehr mein fehler

12.11.2006, 14:30

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wie wäre es dann mit einem Induktionsbeweis? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie weit bist du denn da schon gekommen?

Gruß MSS

12.11.2006, 15:05

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab das mal so probiert weiß aber nicht ob das richtig ist oder ob das genügt :

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n~(ki+1)(ki+1) > (1+\sum_{k=1}^n~ki)(1+ki) \end{eqnarray*}$ dies folgere ich aus der induktionsannahme. Ausmultipliziert ergibt der rechte teil der gleichung ja $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{k=1}^n~ki+ki+ki* \sum_{k=1}^n~ki \end{eqnarray*}$ der hintere Teil ist ja dann quardratisch und somit also immer größer als 0 also folgt daraus doch dann $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{k=1}^n~ki+ki+ki* \sum_{k=1}^n~ki = 1+\sum_{k=1}^{n+1}~ki + \sum_{k=1}^n~ki^{2} \end{eqnarray*}$ würde das als beweis ausreichen?? Denn es steht ja nun auf beiden seiten der n+1 teil oder nicht ??

Und vielen dank für eure bisherigen antworten

Anzeige

12.11.2006, 15:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine ganz andere Aufgabe bearbeitet! Du sollst Zahlen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ betrachten und nicht Produkte $\begin{eqnarray*} i\cdot k \end{eqnarray*}$ !!
Hast du die Aufgabe überhaupt verstanden? unglücklich

unglücklich

Gruß MSS

12.11.2006, 21:02

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

jop hab sie verstanden das sollen auch keine produkte sein also das ki. das i steht für den index aber ich habe leider nicht rausgefunden wie das beim formeleditor geht sorry. Und das in der klammer das (ki+1) is ja der n+1 te teil des Produkts oder nicht ??

12.11.2006, 21:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ schreibst du einfach mit "k_i". Und wenn du das so gemeint hast, dann muss die Summe über $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ laufen und nicht über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

12.11.2006, 21:08

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok danke und ja stimmt vielen dank für deine hilfe. mit der summe hast du recht tut mir leid benutz den formeleditor nicht so oft ist das was ich dann da gemacht habe richtig oder falsch ?

12.11.2006, 21:11

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n~(x_i+1)(x_i+1) > (1+\sum_{i=1}^n~x_i)(1+x_i) \end{eqnarray*}$ dies folgere ich aus der induktionsannahme. Ausmultipliziert ergibt der rechte teil der gleichung ja $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^n~x_i+x_i+x_i* \sum_{i=1}^n~x_i \end{eqnarray*}$ der hintere Teil ist ja dann quardratisch und somit also immer größer als 0 also folgt daraus doch dann $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^n~x_i+x_i+x_i* \sum_{i=1}^n~x_i = 1+\sum_{i=1}^{n+1}~x_i + \sum_{i=1}^n~x_i^{2} \end{eqnarray*}$ würde das als beweis ausreichen?? Denn es steht ja nun auf beiden seiten der n+1 teil oder nicht ??

12.11.2006, 21:13

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine erste Ungleichung ist nicht korrekt. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}~(x_k+1)=(x_{n+1}+1)\cdot \prod_{k=1}^n~(x_k+1)>(x_{n+1}+1)\left(1+\sum_{k=1}^n~x_i\right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt multipliziere nochmal aus und dann zeig mal, was du raus hast!

Gruß MSS

12.11.2006, 21:24

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich es jetzt ausmultipliziere müsste ja das herauskommen $\begin{eqnarray*} (x_{n+1}+1) * \prod_{i=1}^n~(x_i+1) > 1 + x_{n+1} + \sum_{i=1}^n~x_i + (\sum_{i=1}^n~x_i*x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ dann kann man doch sagen das $\begin{eqnarray*} 1 + x_{n+1} + \sum_{i=1}^n~x_i + (\sum_{i=1}^n~x_i*x_{n+1}) = 1 + \sum_{i=1}^n~x_i + x_{n+1} +(\sum_{i=1}^n~x_i*x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ Damit müsste es doch bewiesen sein

12.11.2006, 21:36

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst jetzt noch zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+x_{n+1}+\sum_{k=1}^n~x_k+x_{n+1}\cdot \sum_{k=1}^n~x_k>1+\sum_{k=1}^{n+1}~x_k \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.11.2006, 21:47

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

da alle Zahlen für $\begin{eqnarray*} x_1 - x_n \end{eqnarray*}$ immer alle positiv oder negativ sind aber immer größer als -1 müsste es doch schon bewiesen sein denn das Produkt ist dann ja immer größer als Null somit ist $\begin{eqnarray*} 1 + \sum_{i=1}^n~x_i + x_{n+1} +(\sum_{i=1}^n~x_i*x_{n+1}) > 1 + \sum_{i=1}^n~x_i \end{eqnarray*}$ Ich weiß das mit den Zahlen habe ich nicht oben reingeschrieben das tut mir leid ich werde in zukunft es genauer machen

12.11.2006, 21:57

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau deswegen gilt das. Man könnte es vielleicht noch etwas eleganter formulieren bzw. aufschreiben, aber das ist schon ok.

Zitat:

Original von mopar
Ich weiß das mit den Zahlen habe ich nicht oben reingeschrieben das tut mir leid ich werde in zukunft es genauer machen

Ich weiß zwar nicht, was du meinst, aber es wird sicher nicht so wichtig sein.

Gruß MSS

12.11.2006, 21:59

mopar

Auf diesen Beitrag antworten »

ok macht ja nix

vielen dank für deine hilfe und geduld Gott

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »