Doppelsumme mit Betrag lösen

17.10.2010, 11:20

Kawarider90

Doppelsumme mit Betrag lösen

Heho

also ich steh bei der folgenden Aufgabe im Dunkeln wie man das allgemein lösen kann.
Die Angabe lautet wie folgt:

[attach]16274[/attach]

Ich kenne das ergebnis, habs aber nur durch herausbekommen da der Algorithmus nicht kompliziert ist und man durch eine Matrix schnell darauf schließen kann, weiß aber nicht wie ich auf das Ergebnis rein rechnerischen Weg komme.

Das Ergebnis müsste lauten: [1/6*n*(n+1)*(2n+1)] + n*(n+1)

Ich versteh nicht wie man den Betrag durch Trennung auf 2 Summen auflösen kann, bzw. ob es spezielle Regeln zum auflösen von einem Betrag in einer Summe gibt.

Vl könnt ihr mir ja helfen, im Internet findet man eiglt. gar nichts zum Rechnen von Summen mit Beträgen.
mfg

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Danke, Gualtiero

17.10.2010, 11:27

Airblader

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Es ist ja $\begin{eqnarray*} 0 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ . Schau dir das mal an.

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n |i-j| = \sum_{j=0}^i |i-j| + \sum_{j=i+1}^n |i-j| \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

air

17.10.2010, 12:23

Kawarider90

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danke für die antwort

die Regel leuchtet mir ein
jedoch hab ich probleme beim lösen:

aus $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i |i-j| \end{eqnarray*}$ müsste doch dann i*(i+1)/2 werden
und aus $\begin{eqnarray*} \sum_{j=i+1}^n |i-j| \end{eqnarray*}$ dann n*(n+1)/2 oder?

ich glaub ich hab da einen denkfehler bei der letzten summe
wenn beides male i*(i+1)/2 herauskommen würde
wäre die Summe i*(i+1) und die Summe über diese Funktion wäre dann das ergebnis.

17.10.2010, 12:50

Airblader

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Die 1. Summe:

Für die erste Summe ist $\begin{eqnarray*} j \leq i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |i-j| = i-j \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i |i-j| = \sum_{j=0}^i (i-j) = \sum_{j=0}^i i - \sum_{j=0}^i j \end{eqnarray*}$

Die 2. Summe:

Für die zweite Summe ist $\begin{eqnarray*} j > i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |i-j| = -(i-j) = j-i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=i+1}^n |i-j| = \sum_{j=i+1}^n (j-i) = \sum_{j=i+1}^n j - \sum_{j=i+1}^n i = \left(\sum_{j=0}^n j - \sum_{j=0}^i j\right) - \left(\sum_{j=0}^n i - \sum_{j=0}^i i\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch Summen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^k j \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^k i \end{eqnarray*}$ für feste $\begin{eqnarray*} i,k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ berechnen können. Das sollte machbar sein. Augenzwinkern

Am Ende nicht vergessen, dass du das alles zusammenbastelst und dann noch über $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ summieren musst.

air

17.10.2010, 14:15

Kawarider90

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$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i i \end{eqnarray*}$ = i²

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i j \end{eqnarray*}$ ist ja i*(i+1)/2

richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n j \end{eqnarray*}$ = n*(n+1)/2

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i j \end{eqnarray*}$ = i*(i+1)/2

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n i \end{eqnarray*}$ = n*i

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i i \end{eqnarray*}$ = i²

das dann aufsummiert ergibt bei mir dann aber nicht i*(i+1) was es ja sein müsste

17.10.2010, 14:29

Airblader

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Schade. Da mache ich mir solch eine Mühe mit einem langen Beitrag, und alles was von dir kommt ist eine kurze Antwort ohne Rechnung oder irgendwas:

Zitat:

Original von Kawarider90
das dann aufsummiert ergibt bei mir dann aber nicht i*(i+1) was es ja sein sollte

Dann lautet meine Antwort dementsprechend nun: Tja, das ist schlecht, dann machst du was falsch.

Vielleicht gibst du dir auch etwas mehr Mühe, mir Informationen zu geben. Dann kann ich dir nämlich auch wieder helfen.

air

17.10.2010, 14:40

Kawarider90

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$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n |i-j| = \sum_{j=0}^i |i-j| + \sum_{j=i+1}^n |i-j| \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^i i - \sum_{j=0}^i j + \left(\sum_{j=0}^n j - \sum_{j=0}^i j\right) - \left(\sum_{j=0}^n i - \sum_{j=0}^i i\right) \end{eqnarray*}$

ergibt bei mir dann, wenn i und n konstant sind:

i² - i*(i+1)/2 + n*(n+1)/2 - i*(i+1)/2 - n*i + i²

17.10.2010, 14:47

Airblader

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Dann denk nochmal über

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^k i = ki \end{eqnarray*}$

nach. Das ist nämlich falsch.

air

17.10.2010, 15:16

Kawarider90

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ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^k i = (k+1)*i \end{eqnarray*}$ ?

damit würde sich bei mir

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n |i-j| = \sum_{j=0}^i |i-j| + \sum_{j=i+1}^n |i-j| = \sum_{j=0}^i i - \sum_{j=0}^i j + \left(\sum_{j=0}^n j - \sum_{j=0}^i j\right) - \left(\sum_{j=0}^n i - \sum_{j=0}^i i\right)=<br /> <br /> = i*(i+1) - i*(i+1)/2 + n*(n+1)/2 - i*(i+1)/2 - (n+1)*i + i*(i+1) \end{eqnarray*}$

ergeben

17.10.2010, 15:17

Airblader

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Stimmt soweit alles.
Jetzt fasse das Ganze ordentlich zusammen. Geschickterweise so, dass es in ein Polynom von i zerlegt ist (d.h. additiv in Potenzen von i).
Du musst ja dran denken, dass du nun noch über i summieren musst. Dazu zerlege es wie oben angemerkt und splitte die Summe dann in ihre Summanden auf.

air

17.10.2010, 15:43

Kawarider90

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hab dann jetzt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n i² - \sum_{i=0}^n n*i + \sum_{i=0}^n n*(n+1)/2 = 1/6*n*(n+1)*(2n+1) - n²*(n+1)/2 + n*(n+1)²/2 \end{eqnarray*}$ herausbekommen

das scheint richtig zu sein

tausend dank
air

17.10.2010, 15:57

Airblader

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Gern geschehen Wink