inhomogene oder homogene Dgl mit Anfangswertproblem |
| 17.10.2010, 13:40 | Izzo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| inhomogene oder homogene Dgl mit Anfangswertproblem Hallo, ich stehe im Moment etwas auf dem Schlauch. Ich habe 2 Differentialgleichungen mit je einem Anfangswertproblem gegeben: 1. y'=1-2y, y(0)=-1 2. y'(t)=1/y(t)^3, y(1)=2 bei der ersten weiß ich, dass es eine inhomogene Dgl ist, aber bei der 2ten bin ich mir nicht sicher. Meine Ideen: Das AWP der ersten Dgl löse ich, indem ich die homogene und die partikuläre Lösung bilde und dann meinen Anfangswert einsetze. Bei der 2ten wird aber in meiner Lösung nur die homogen Lösung gebildet und dann der Anfangswert in diese eingesetzt. Handelt es sich daher um eine homogene Dgl? Nach dem umstellen sieht sie ja wie folgt aus y´(t)*y(t)^3=1 meine rechte Seite ist doch hier auch ungleich 0, also inhomogen oder täusche ich mich da? Muss ich daher nicht auch erst die Dgl =0 setzen, wie bei der 1. Dgl, um meine homogene Lösung zu bilden? |
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| 17.10.2010, 14:30 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: inhomogene oder homogene Dgl mit Anfangswertproblem Edit: Pardon, aus der ersten DGL hatte ich irgendwie y'=t-2y rausgelesen. Edit2: Auf ein neues. Was sagen denn deine Lösungen? Du kannst ja eigentlich beide DGLn durch Trennung der Variablen lösen, insofern unterscheiden sie sich eigentlich nicht. |
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| 17.10.2010, 15:01 | Izzo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, danke schon mal für die Antwort. Mein Problem ist eigentlich nur, dass ich nicht verstehe, warum es bei der 2ten Dgl reicht die Variablen zu trennen. Wenn ich sie umstelle um zu integrieren hab ich folgendes: y'(t)*y(t)^3=1 nun wird in meiner Lösung y(t)^3 nach y und 1 nach t integriert. Anschließend nach y umgestellt hab ich folgendes: 1/4*y(t)^4=t+C = y(t)=(4t+C)^1/4 hier setze ich den Anfangswert ein und hab meine Lösung. Ich verstehe nicht, warum ich nicht zuerst die homogene Lösung mit =0 bilden muss und anschließend die partikuläre mit Variation der Konstanten und der Dgl =1. Also so wie bei meiner 1. Dgl P.S. bin mir nicht 100%ig sicher, ob das Ergebniss meiner Lösung richtig ist |
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| 17.10.2010, 18:00 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Im Zweifelsfalle kannst du es ja auch einfach ableiten und wieder in die DGL einsetzen. Dann siehst du ja, ob y die DGL erfüllt.
Wie schon gesagt: Das musst du auch bei der ersten DGL nicht. Auch da kann man die Variablen trennen: |
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| 17.10.2010, 19:54 | Izzo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab mir die 2te Dgl noch einmal angesehen. Wenn ich die 1/y(t)^3 einfach rüberhole habe ich ja y'(t)-1/y(t)^3=0 dann wäre es ja eine homogene Dgl und ich bräuchte keine partikuläre Lösung. Die allgemeine Form ist ja y'-a(t)y=p(t) wobei in diesem Fall p(t)=0 ist, also homogen, müsste doch soweit passen oder? |
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| 17.10.2010, 23:20 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Im unteren Fall kommt y linear vor, im oberen in dritter Potenz: beides passt nicht zusammen, d.h. das erste ist keine lineare DGL. Grüße Abakus 
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