Resonanz bei Differentialgleichungen

17.10.2010, 15:14

DSolve

Resonanz bei Differentialgleichungen

Hallo,

wir hatten gerade Differentialgleichungen n. Ordnung. Nun ist mir die Geschichte mit der Resonanz noch nicht ganz klar. Mir war es so, als hätte ich im Seminar aufgeschnappt, dass k-Fache Resonanz dann besteht, wenn die 0 k-Fache Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist.

Nun steht in meiner Formelsammlung:

...(keine Resonanz: a+bi nicht Lösungen der char. Gleichung).

wann tritt denn nun Resonanz auf?

Viele Grüße

17.10.2010, 23:15

Abakus

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RE: Resonanz bei Differentialgleichungen

Zitat:

Original von DSolve
wir hatten gerade Differentialgleichungen n. Ordnung. Nun ist mir die Geschichte mit der Resonanz noch nicht ganz klar. Mir war es so, als hätte ich im Seminar aufgeschnappt, dass k-Fache Resonanz dann besteht, wenn die 0 k-Fache Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist.

Hallo!

Nein, da bringst du was völlig durcheinander: Resonanz hat etwas mit einer Störfunktion zu tun, die erstmal da sein muss. Wenn deine Störfunktion ein Polynom ist, und 0 ist k-fache Nullstelle des char. Polynoms, musst du jedenfalls ein entsprechend höheres Polynom als part. Lösung ( $\begin{eqnarray*} x^k \cdot p(x) \end{eqnarray*}$ ) ansetzen.

Grüße Abakus smile

18.10.2010, 10:36

DSolve

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Aber das wäre dann auch Resonanz, oder etwa nicht? Und was können denn noch für Fälle von Resonanz auftreten?

18.10.2010, 18:24

Abakus

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Resonanz ist, wenn die Störfunktion eine Grundfrequenz enthält (feststellbar durch Fourieranalyse), die auch in der Lösung der homogenen DGL enthalten ist: in diesem Fall ist es die 0. Inwieweit das physikalisch Sinn macht, kann ich nicht sagen.

Ansonsten sprechen Physiker auch von Amplituden-, Phasenresonanz, u.ä. Vielleicht kann das ja mal einer der Physiker hier erklären.

Grüße Abakus smile

18.10.2010, 21:53

DSolve

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Also so richtig ist mir leider noch nicht klar, wann genau Resonanz auftritt. Also wenn ich jetzt als Lösungen des charakteristischen Polynoms habe:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3=2+2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_4=2-2i \end{eqnarray*}$

und als mögliche Störfunktionen:

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^2+3x+4 \end{eqnarray*}$
Dann liegt hier einfache Resonanz vor, aber wieso?

oder

$\begin{eqnarray*} h(x)=3x\cdot \cos(2x) \end{eqnarray*}$
hier mindestens einfache Resonanz, da komplexe konjugierte Nullstellen, mit 2/-2 als Imaginärteil. Aber was ist hier mit der 0? Ich habe ja auch ein Polynom.

Ich habe jetzt gelesen, dass im Ansatz für die Partikulärlösung quasi immer ein $\begin{eqnarray*} e^(ax) \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Wenn kein e^... in der Störfunktion ist, dann tritt Resonanz auf, wenn 0 eine Nullstelle des char. Polynoms ist. Genau so würde sich dass mit den komplexen Nullstellen erklären lassen. Aber wie sieht es aus, wenn ich gemischte Fälle habe? Wie kommt man dann auf den Resonanzgrad? Nimmt man dann den Einzelfall mit der "höchsten" Resonanz?

18.10.2010, 22:49

Abakus

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Zitat:

Original von DSolve
Also wenn ich jetzt als Lösungen des charakteristischen Polynoms habe:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3=2+2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_4=2-2i \end{eqnarray*}$

und als mögliche Störfunktionen:

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^2+3x+4 \end{eqnarray*}$
Dann liegt hier einfache Resonanz vor, aber wieso?

Weil da eigentlich $\begin{eqnarray*} h(x) = (x^2+3x+4) \cdot e^{0 \cdot x} \end{eqnarray*}$ steht und da hast du die 0 dann.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(x)=3x\cdot \cos(2x) \end{eqnarray*}$
hier mindestens einfache Resonanz, da komplexe konjugierte Nullstellen, mit 2/-2 als Imaginärteil. Aber was ist hier mit der 0? Ich habe ja auch ein Polynom.

Nein, das ist kein Polynom, sondern Polynom * cos(...), daher spielt die Null keine Rolle. Resonanz hast du auch nicht, denn 2i ist keine Nullstelle des char. Polynoms.

Zitat:

Ich habe jetzt gelesen, dass im Ansatz für die Partikulärlösung quasi immer ein $\begin{eqnarray*} e^(ax) \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Wenn kein e^... in der Störfunktion ist, dann tritt Resonanz auf, wenn 0 eine Nullstelle des char. Polynoms ist. Genau so würde sich dass mit den komplexen Nullstellen erklären lassen. Aber wie sieht es aus, wenn ich gemischte Fälle habe? Wie kommt man dann auf den Resonanzgrad? Nimmt man dann den Einzelfall mit der "höchsten" Resonanz?

Was meinst du mit gemischten Fällen genau?

Grüße Abakus smile

19.10.2010, 13:13

DSolve

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Gibt es hier:

$\begin{eqnarray*} h(x)=3x\cdot \cos(2x) \end{eqnarray*}$ gar keine Resonanz? Da steht doch eigentlich auch:

$\begin{eqnarray*} h(x)=3x\cdot \cos(2x)\cdot e^{0x} \end{eqnarray*}$

Und wäre es auch Resonanz, wenn die Störfunktion:

$\begin{eqnarray*} h(x)=e^{2x}\cdot 3x \cdot cos(2x) \end{eqnarray*}$

lauten würde? Denn da habe ich ja jetzt die 2+2i drin. Und ist das jetzt einfach resonant, oder doppelt? Weil steht nicht wieder:

$\begin{eqnarray*} h(x)=e^{2x}\cdot 3x \cdot cos(2x)\cdot e^{0x} \end{eqnarray*}$ . Oder ist der e-Anteil schon durch das e^{2x} abgegolten?

edit(Abakus): Klammer

19.10.2010, 18:49

Abakus

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Zitat:

Original von DSolve
Gibt es hier:

$\begin{eqnarray*} h(x)=3x\cdot \cos(2x) \end{eqnarray*}$ gar keine Resonanz? Da steht doch eigentlich auch:

$\begin{eqnarray*} h(x)=3x\cdot \cos(2x)\cdot e^{0x} \end{eqnarray*}$

Nein, keine Resonanz: die "Frequenzen" der allg. Lösung stimmen nicht mit 0 + 2i überein.

Zitat:

Und wäre es auch Resonanz, wenn die Störfunktion:

$\begin{eqnarray*} h(x)=e^{2x}\cdot 3x \cdot cos(2x) \end{eqnarray*}$

lauten würde? Denn da habe ich ja jetzt die 2+2i drin. Und ist das jetzt einfach resonant, oder doppelt?

Hier stimmen sie überein, 2 + 2i ist einfache Nullstelle des char. Polynoms: du hast einfache Resonanz.

Zitat:

Weil steht nicht wieder:

$\begin{eqnarray*} h(x)=e^{2x}\cdot 3x \cdot cos(2x)\cdot e^{0x} \end{eqnarray*}$ . Oder ist der e-Anteil schon durch das e^{2x} abgegolten?

Naja, $\begin{eqnarray*} e^{0x} \cdot e^{2x} = e^{2x} \end{eqnarray*}$ , die Null ändert also hier nichts.

Grüße Abakus smile

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