Eine Funktion bestimmen, die genau 2 Nullstellen besitzt

17.10.2010, 16:55

NoFunction

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Eine Funktion bestimmen, die genau 2 Nullstellen besitzt

Hallo liebe Mathe-Genies smile

smile

Folgende Aufgabenstellung:
Bestimmt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 - x^2 + ax \end{eqnarray*}$ genau zwei Nullstellen besitzt.

Das stand noch in der Aufgabenstellung:
Hinweis:
1. Lösungsverfahren wie immer wählen und durchführen (hier: Ausklammern).
2. Man erhält ein Produkt mit einer quadratischen Gleichung mit dem a darin.
3. Nun kann man mit Werten für a die Anzahl der Lösungen beeinflussen.

Also. erst mal hab ich ausgeklammert und dabei kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x(x^2- 2x+ a) \end{eqnarray*}$

Und nun habe ich absolut keine Ahnung wie es weitergehen soll, außer durch ausprobieren und Zahlen einsetzen für a. Aber das ist sicher nicht der gewollte Lösungsweg. Wie kann ich die Lösung mathematisch erarbeiten? Ich zermater mir seit einer Stunde das Hirn darüber. Ich bin auch absolut nicht gut in Mathe, also würde ich mich über eine Lösung "für Dummies" freuen.

17.10.2010, 16:58

Airblader

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Wann ist denn ein Produkt aus zwei Zahlen Null?

air

17.10.2010, 17:08

NoFunction

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Ja, das wird wohl 0 sein. Aber damit hätte ich ja nur eine Nullstelle, ich soll ja 2 Nullstellen bestimmen und zwar genau 2. Die Lösung hab ich ja auch schon, für a muss 1 eingesetzt werden. Dann hab ich die Nullstellen 0 und 1. Aber wie komm ich mathematisch dahin ohne für a Zahlen durch zu probieren?

17.10.2010, 17:10

Airblader

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Zitat:

Original von NoFunction
Ja, das wird wohl 0 sein.

Inwiefern das eine Antwort auf meine Frage ist musst du mir erklären verwirrt

verwirrt

air

17.10.2010, 17:18

NoFunction

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Huch. Wer lesen kann ... Ich hatte das "wann" in deinem Satz überlesen. Sorry, bin schon auf geistigem Stand-By, weil ich schon den ganzen Tag lerne.

Also ein Produkt ist dann 0, wenn eine der Faktoren 0 ist. Das war die Antwort die du meintest?

17.10.2010, 17:21

Airblader

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Genau

Freude

Also weißt du doch, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x(x^2-2x+a) \end{eqnarray*}$ genau dann eine Nullstelle hat, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^2-2x+a=0 \end{eqnarray*}$ ist.

x=0 ist immer eine Lösung, da unabhängig von a. Soll heißen: Eine Nullstelle haben wir bereits verbraten. Jetzt kommt eine ganz schwere Rechnung: Wie viele Nullstellen soll der andere Faktor (die quadr. Gleichung mit a) dann noch haben? Und wovon hängt die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Gleichung ab?

air

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17.10.2010, 17:36

NoFunction

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Die quadr. Gleichung soll noch eine Nullstelle haben. Aber wovon die Anzahl der Nullstellen abhängig ist, weiss ich nicht. Ich hab leider einige Lücken unglücklich

unglücklich

Ich weiß nur, dass man am Exponenten die Höchstzahl der Nullstellen erkennen kann.

17.10.2010, 17:41

Airblader

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Sagt dir die Mitternachts- oder pq-Formel etwas? smile

smile

Ich verwende für meine Erklärung mal die pq-Formel:

Zitat:

Eine quadr. Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Besonders interessant wird der Teil unter der Wurzel, den wir jetzt mal die Diskriminante D nennen:

$\begin{eqnarray*} D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \end{eqnarray*}$

Wie du am $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ siehst, gibt es prinzipiell die Möglichkeit für zwei Lösungen (was eben auch der höchsten Hochzahl entspricht).
Wir schauen uns mal drei Fälle an:

1. D < 0

Wenn das der Fall ist, dann kannst du die Wurzel gar nicht ziehen. Das bedeutet, dass es keine Lösungen gibt (also keine Nullstelle).

2. D > 0

In diesem Fall kannst du die Wurzel ziehen und es gilt auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{D} > 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen dem Plus-Minus erhält man also wirklich zwei verschiedene(!) x-Werte als Lösungen, also zwei Nullstellen.

3. D = 0

In diesem Fall ist auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{D} = 0 \end{eqnarray*}$ . Und ob nun $\begin{eqnarray*} +0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -0 \end{eqnarray*}$ ist egal, da es das selbe ist. In diesem Fall fallen die beiden x-Werte also sozusagen zusammen und es gibt nur eine Lösung/Nullstelle.

==================

So, das als kleine Lehrstunde. Kannst du damit schon was anfangen?

Edit: Ich muss gerade mal für eine Weile weg. Vielleicht kann ja zwischenzeitlich jemand übernehmen Wink

Wink

air

17.10.2010, 19:29

NoFunction

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Sooo. Ich denke, ich hab das jetzt verstanden. Also der Teil unter der Wurzel ist die Diskriminante (wusste ich vorher auch nicht). Das heisst, wenn ich nochmal so eine Aufgabe habe, dann muss ich einfach in q die Zahl einsetzen damit der Term unter der Wurzel 0 ergibt, um genau eine Nullstelle zu bekommen. Und um keine Nullstelle zu bekommen, muss der Wurzelterm kleiner 0 sein, weil man ja aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann und um mehr als 1 zu bekommen muss er über 0 sein.

Also du hast mir wirklich sehr weitergeholfen. Vielen Dank !
Ich werde mir dazu noch ein paar Übungsaufgaben geben lassen und das noch ein paar mal probiern.

17.10.2010, 20:21

Airblader

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Der einzige Teil, der mich etwas verwundert ,ist "in q die Zahl einsetzen". Wieso in q verwirrt

verwirrt

Du musst, um genau eine Lösung zu bekommen, einfach D=0 setzen und das nach der Variablen lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

17.10.2010, 20:41

NoFunction

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Also du hast ja oben geschrieben, dass dieser Teil relevant ist:
$\begin{eqnarray*} D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \end{eqnarray*}$

Wenn ich also aus meiner Aufgabe, dann p einsetze (-2), sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} D = \left(\frac{-2}{2}\right)^2 - q \end{eqnarray*}$

und ausgerechnet dann so:

$\begin{eqnarray*} D = 1 - q \end{eqnarray*}$

Und dann muss ich in q die Zahl einsetzen, damit D = 0 ist. Ist doch das was du auch gesagt hast, nur anders ausgedrückt oder?

18.10.2010, 02:36

mwinter

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RE: Eine Funktion bestimmen, die genau 2 Nullstellen besitzt

Zitat:

Original von NoFunction
Bestimmt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 - x^2 + ax \end{eqnarray*}$ genau zwei Nullstellen besitzt.

Also. erst mal hab ich ausgeklammert und dabei kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x(x^2- 2x+ a) \end{eqnarray*}$

Entweder hast du oben einfach nur die 2 vor dem x² vergessen oder dir ist ein kleiner Fehler beim Ausklammern unterlaufen.

18.10.2010, 02:39

Airblader

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Danke @mwinter für den Hinweis. Habe ich glatt übersehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@ NoFunction

Nein, 'q' ist ja auch eine Zahl aus der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2 + \underbrace{(-2)}_{=p}x + \underbrace{a}_{=q} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} D = \left(\frac{-2}{2}\right)^2 - a = 1 - a \end{eqnarray*}$

Und da es nun eine Lösung geben soll, muss $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Also $\begin{eqnarray*} 0 = 1-a \end{eqnarray*}$ .

air

18.10.2010, 11:30

NoFunction

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@ mwinter
Du hast Recht. Da fehlt eine 2 vor dem x. Richtig ausgeklammert hab ich. Vielleicht kann ein Mod das editieren? Ich kann den Beitrag nicht mehr verändern.

@air
Jetzt verwirrst du mich etwas. a ist bei meiner Aufgabenstellung doch dasselbe wie q, oder nicht? Und die Zahl für a kenne ich ja nicht, solange ich nicht die Diskriminante gleich 0 gesetzt habe, in dem ich für q die Zahl einsetze. Und dann hab ich auch die Zahl die ich für a einsetzen kann um die Aufgabe zu lösen.

18.10.2010, 11:38

René Gruber

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@Airblader (& NoFunction)

Zur Lösung der Originalaufgabenstellung ist es nicht notwendig so, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-2x+a = 0 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung hat - es gibt nämlich noch die andere Möglichkeit, dass diese Gleichung genau zwei Lösungen hat, von denen die eine gleich Null ist, d.h. gleich der einen Lösung, die ihr bereits durch den ersten Faktor von $\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2-2x+a) = 0 \end{eqnarray*}$ ermittelt hattet!

18.10.2010, 12:57

Nubler

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nur so am rande:

reelles polynom vom grad 3 mit genau 2 reellwertige nullstellen?

imo geht des net...

18.10.2010, 13:11

klarsoweit

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Das kommt auf die Zählweise an. Also ich habe kein Problem mit der Aussage, daß f(x) = x³ + x² genau 2 reelle Nullstellen hat.

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