Arcustangensfunkton - Verhalten am Rand der Definitionsmenge

17.10.2010, 17:04

Mr.Miagy

Arcustangensfunkton - Verhalten am Rand der Definitionsmenge

Hi,

ich habe ein Verständnisproblem, es geht um das Monotonieverhalten am Rand der Definitionsmenge.

$\begin{eqnarray*} f(x)= arctan(\sqrt{\frac{x}{x-2} } ) \end{eqnarray*}$
Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} ]- \infty ;0] und ]2,\infty [ \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-1}{(2x-2)\sqrt{x\cdot \left(x-2\right) } } \end{eqnarray*}$ für x > 2
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{(2x-2)\sqrt{x\cdot \left(x-2\right) } } \end{eqnarray*}$ für x < 0

Und jetzt soll ich das Monotonieverhlaten am Rand der Definitionsmenge bestimmen.

Also einmal x geht gegen 0 , von - unendlich
und einmal x geht gegen 2 , von + unendlich

Ich habe ja zwei Ableitungen die sich im Vorzeichen unterscheiden, also müsste ich ja für den rechten Rand der "Linken" Definitionsmenge also 0 die Ableitung für die untersuchung hernehmen die im interval x < 0 gilt.
Und für den linken Rand der "rechten" Definitionsmenge also die 2 , müsste ich doch auch die Ableitung hernehmen die ich für dieses Intervall bestimmt habe.

Ich habe eine Lösung vor mir in der aber die Ableitung ohne Betrag hergenommen wird, es wird also nicht nach Intervallen unterschieden und das Verhalten am Rand zu bestimen.

also damit: $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(2x-2)(x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \end{eqnarray*}$

da kommt dann raus das die Ableitungsfunktion für x geht gegen zwei und x geht gegen 0 gegen minus unendlich geht.

Was ich absolut nicht verstehe ist:

Warum nehme ich die "Unvereinfachte" Ableitung her und diese Aufgabe zu lösen!?

Und was soll es für den Graphen der Funktion bedeuten wenn er am Rand (also bei 0 und 2) gegen minus Unendlich geht????
Weil bei 2 ist er ja gar nicht Definiert!? Und bei Null hört er doch einfach auf und geht nicht gegen minus Unendlich!?!?
Oder bedeutet dass einfach nur dass der Graph der Funktion an den Stellen Streng monoton fallen ist!?

19.10.2010, 02:05

aleph_math

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RE: Arcustangensfunkton - Verhalten am Rand der Definitionsmenge
Hallo,

sind d. Ableitg. vorgegeben o. selbst ausgerechnet? Ich bekomm' was ganz anderes 'raus:

Für arctan gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=(\sqrt{1+x^2})^{-1} \end{eqnarray*}$ (1) ;
d. Kettenregel f. 2 Fkt. f & g besagt $\begin{eqnarray*} f(g(x))'=f'(u)\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ mit u=g(x) (2)
u. d. Quotientenregel folgendes: $\begin{eqnarray*} (\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{eqnarray*}$ (3)

Daraus ergibt sich f.d. gegeb. Fkt.: $\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+\frac{x}{x-2})^{-1}|_{(1)}\cdot \frac{x-2-x}{(x-2)^2}|_{(3)}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x-2}{2x-2}\cdot \frac{-2}{(x-2)^2}= \frac{-2}{(2x-2)(x-2)}=-\frac{1}{(x-1)(x-2)}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-(x^2-3x+2)^{-1} \end{eqnarray*}$ (4)

Der Nenner hat d. Lösg. x=1 & x=2, d. Def.bereich ist also $\begin{eqnarray*} \left\{x \in \mathbb R |~x\neq 1\wedge x\neq 2 \right\} \end{eqnarray*}$ (d. vorgeg. Def.bereich ist eine Teilmenge davon u. erfüllt daher d. Bedingg). Die Ränder d. Def.bereich sind also $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ einers. u. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ anders.

Bei $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ geht der Nenner in (4) $\begin{eqnarray*} \rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , d. Steigung ist also immer neg.; das wiederum heisst, die Fkt. f(x) ist monoton fallend.

Bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist d. Verhalten eindeutig: $\begin{eqnarray*} f'(0)=-2 \end{eqnarray*}$ , also gilt hier das gleiche wie oben.

Bei $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 2 \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$ , also gilt auch da das gleiche.

Weiter viel Erfolg! Wink

19.10.2010, 02:29

Cugu

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Die Ableitungen von Mr.Miagy stimmen vermutlich....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+\frac{x}{x-2})^{-1}|_{(1)}\cdot \frac{x-2-x}{(x-2)^2}|_{(3)} \end{eqnarray*}$

Wo ist die Wurzel bei (3) hin?

19.10.2010, 04:53

aleph_math

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Zitat:

Original von Cugu
Die Ableitungen von Mr.Miagy stimmen vermutlich....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+\frac{x}{x-2})^{-1}|_{(1)}\cdot \frac{x-2-x}{(x-2)^2}|_{(3)} \end{eqnarray*}$

Wo ist die Wurzel bei (3) hin?

Gl.(3) ist ja nur die Quotientenregel ohne Bezug auf konkr. Funkt. Der "index" (3) soll heissen, dass d. Term nach Gl.(3) gebildet wurde; die konkr. Funkt. ist dabei nur $\begin{eqnarray*} u=\frac{v}{v-2} \end{eqnarray*}$ , da ist keine Wurzel, also kann sie auch in der Ableit. nicht vorkommen.

Es sind hier 3 Funkt. ineinander geschachtelt:
1) $\begin{eqnarray*} f(x)=y=arctan(u) \quad \Rightarrow y'=(1+u^2)^{-1} \end{eqnarray*}$ ;
2) $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{w} \quad \Rightarrow u'=(2\sqrt{w})^{-1} \end{eqnarray*}$ ;
3) $\begin{eqnarray*} w=\frac{x}{x-2} ~ \Rightarrow w'=\frac{(x-2)-x}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$ , i.e. ob. rationale Fkt.

Zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+\left(\sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)^2)^{-1} \cdot (2\sqrt{\frac{x}{x-2}})^{-1} \cdot \frac{-2}{(x-2)^2}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x-2}{2x-2} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x}} \cdot \frac{-2}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$ | Kürzen $\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{x-1} \cdot\sqrt{\frac{x-2}{x}} \cdot\frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$ |Erweitern
$\begin{eqnarray*} =-\frac{\sqrt{x(x-2)}}{x(x-1)(x-2)}= -\frac{\sqrt{x}}{x(x-1)\sqrt{x-2}} \end{eqnarray*}$

Verflixt! Da hab' ich vorhin doch glatt d. 2.Fkt (u(w), s.ob.) vergessen; mea culpa! Hammer

Ergebnis ist aber immer noch anders als im Orig. verwirrt

Trotzdem viel Spass! Wink

19.10.2010, 16:36

Cugu

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Beim zweiten Gleichheitszeichen eine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ verschlampt und dann mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ erweitert, ohne sicherzustellen, dass der Ausdruck wohldefiniert ist...

Zitat:

Warum nehme ich die "Unvereinfachte" Ableitung her und diese Aufgabe zu lösen!?

Du kannst nehmen was du willst, es sollte dasselbe heraus kommen...

Zitat:

Und was soll es für den Graphen der Funktion bedeuten wenn er am Rand (also bei 0 und 2) gegen minus Unendlich geht????

Mit Funktion meinst du $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Weil bei 2 ist er ja gar nicht Definiert!? Und bei Null hört er doch einfach auf und geht nicht gegen minus Unendlich!?!?

Stimmt, an der Stelle $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht definiert und an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ kannst du keine Differenzierbarkeit erwarten, auch nicht einseitig. Trotzdem kannst du doch das Grenzwertverhalten von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ betrachten. Dazu interessieren doch nur alle anderen Punkte in der einseitigen Umgebung.

Zitat:

Oder bedeutet dass einfach nur dass der Graph der Funktion an den Stellen Streng monoton fallen ist!?

Ja, natürlich, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (und damit auch ihr Graph) ist folglich in einer linksseitigen Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und einer rechtsseitigen Umgebung von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ fallend.

19.10.2010, 17:10

René Gruber

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Zitat:

Original von Mr.Miagy
Weil bei 2 ist er ja gar nicht Definiert!?

Zumindest lässt sich die Funktion da stetig fortsetzen. Mit dieser Fortsetzung ist die Funktion dann übrigens punktsymmetrisch bzgl. Punkt $\begin{eqnarray*} \left( 1, \frac{\pi}{4} \right) \end{eqnarray*}$ , d.h., es gilt

$\begin{eqnarray*} f(1-t) = \frac{\pi}{2} - f(1+t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |t|\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2010, 18:59

aleph_math

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Zitat:

@cugu: Ui, da ist ein ganz Genauer unterwegs... smile

Genau genommen ist die 2 nicht verschlampt, also verloren, sondern eine Zeile davor beim Kürzen d. 2 letzten Terme fälschlich stehen geblieben; dann ist sie nat. in der betreff. Zeile (vor "Kürzen") zuviel u. wird nochmal gekürzt unglücklich

Aber was kann man um 5h früh erwarten... Augenzwinkern

"wohldef."? Wir haben gelernt, dass Wurzeln im Nenner mögl. nicht vorkommen sollen, also Ausdruck erweitern; was ist daran falsch? Ja, x im Nenner macht d. Lücke bei 0 deutlich, aber die wäre bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ genauso vorhanden, nicht?

Dank ob. Hinweis hab ich nun folg. Ableitg.: $\begin{eqnarray*} f'(x)= -\frac{\sqrt{x(x-2)}}{2x(x-1)(x-2)} \end{eqnarray*}$ (1),
bzw. (ohne Erweit.): $\begin{eqnarray*} f'(x)= -\frac{1}{2(x-1)(x-2)}\sqrt{\frac{x-2}{x}} \end{eqnarray*}$ (2).

Gl.(2) ist genau die Lösg., die "Miagy" erwähnt hat. Ich finde (1) besser, da man da sofort die Def.Lücken sieht (Nullstellen des Nennerpolynoms: x=0, x=1, x=2).

Zitat:

Ich habe eine Lösung vor mir, in der aber die Ableitung ohne Betrag genommen wird, es wird also nicht nach Intervallen unterschieden, um das Verhalten am Rand zu bestimen.

@"Miagy": Woher soll denn ein Betrag, also ABS-Funkt., kommen? Beim ursprüng. arctan ist ja auch keiner.

Die urspr. Frage war doch nach der Monotonie an den Rändern. Abgesehen von den übl. $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ sind das die ob. erwähnten Nullstellen = Lücken, egal ob Pole, Singular. o. sonst was (wie im and. Beitrag kritisiert). Untersuchen muss man also den Grenzw. der Ableit. gegen diese Ränder ( $\begin{eqnarray*} \pm\infty, 0, 1, 2 \end{eqnarray*}$ ), ggf. von li. & re. getrennt. Die Durchführg. (falls nicht schon geschehen) will ich zunächst d. Eigeninitiative überlassen.

Viel Spass! Wink

19.10.2010, 20:18

Cugu

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Mit "ganz Genauer" hat das nichts zu tun, deine Umformungen sind teilweise falsch...

(2) stimmt, (1) ist i.A. falsch. Guck dir einfach mal das Grenzwertverhalten von beiden Termen an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ an.
Ist ja schön, wenn man im Nenner keine Wurzel haben will, aber dann muss man eben beim Erweitern aufpassen...

Zitat:

Ja, x im Nenner macht d. Lücke bei 0 deutlich, aber die wäre bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ genauso vorhanden, nicht?

Ja, das ist egal.

Zitat:

@"Miagy": Woher soll denn ein Betrag, also ABS-Funkt., kommen? Beim ursprüng. arctan ist ja auch keiner.

Da es keine Schande ist, wenn Miagy das nicht weiß: Es liegt am Erweitern & Kürzen. Möglicherweise muss man mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-x} \end{eqnarray*}$ erweitern!

Wohldefiniert heißt auf deutsch: $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}\notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ !

22.10.2010, 00:38

Mr.Miagy

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Hallo

Ich war die Tage sehr im Stress und habe es nicht geschafft reinzuschauen.

Die Ableitungen habe ich selbst berechnet.
Ich habe die Funktion gegeben und die erste "unvereinfachte" Ableitung aber keine Definitionsmenge oder Rechenwege.

Jetzt wollte ich einal zeigen wie ich auf die Ableitungen gekommen bin, aber ich muss jetzt ins Bett^^ morgen gehts weiter

$\begin{eqnarray*} f(x)= arctan\sqrt{\frac{x}{x-2} } \end{eqnarray*}$

Def: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\geq 0\wedge x-2>0\vee x\leq 0\wedge x-2<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq 0\wedge x>2\vee x\leq0 \wedge x<2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>2\vee x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Def: $\begin{eqnarray*} ]- \infty ;0]\cup [2;\infty [ \end{eqnarray*}$

24.10.2010, 13:26

Mr.Miagy

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Zitat:

So bin ich auf die Ableitungen gekommen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{1+\frac{x}{x-2} } \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{x}{x-2} } } \cdot \frac{1\cdot \left(x-2\right)- x\cdot 1 }{\left(x-2\right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\frac{x-2+x}{x-2} } \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{x}{x-2} } } \cdot \frac{x-2-x}{\left(x-2\right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2x-2}\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{x}{x-2} } } \cdot \frac{(-2)}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2x-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-2} } } \cdot \frac{(-1)}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{\left(2x-2\right)\cdot \left(x-2\right) \cdot \sqrt{\frac{x}{x-2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-1}{(2x-2)\cdot (x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Betrag ins Spiel

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{(2x-2)\cdot \sqrt{\left(x-2\right) ^{2} } } \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \Rightarrow \frac{-1}{(2x-2)\cdot (+1)\cdot | x-2 | } \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \Rightarrow \frac{-1}{(2x-2)\cdot \sqrt{x \cdot (x-2)} } \end{eqnarray*}$ gilt für x>2

Die Wurzel aus einem Quadrat ist muss immer der Betrag sein, weil es keine äquivalente Umformung ist!

Und weil ich den Betrag positiv genommen habe, muss auch die so entstandene Ableitung nur für das Positive Intervall, also hier $\begin{eqnarray*} [2;\infty [ \end{eqnarray*}$ des Graphen von f, gelten.
Diese Ableitung gilt aber nicht für das andere Intervall!

Ableitung für $\begin{eqnarray*} -1 \cdot | x-2 | \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{(2x-2)\cdot \sqrt{\left(x-2\right) ^{2} } } \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \Rightarrow \frac{-1}{(2x-2)\cdot (-1)\cdot | x-2 | } \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \Rightarrow \frac{+1}{(2x-2)\cdot \sqrt{x \cdot (x-2)} } \end{eqnarray*}$ gilt für x<0

Diese Ableitung gilt für das Interval $\begin{eqnarray*} ]- \infty ;0] \end{eqnarray*}$
Weil wenn ich negative x-werte einsetzen will dann muss ich auch den "negativen Betrag nehmen" weil ja genau der für dieses interval links von der null deffiniert ist.

24.10.2010, 14:11

Mr.Miagy

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Und jetzt kommt das was ich nicht verstehe:

Monotonieverhalten am Rand

Ich verstehe nicht warum ich die Ableitung ohne Betrag zur Überprüfung hernehmen muss und ich verstehe auch nicht warum dann etwas andres rauskommt wenn ich die Ableitung mit Betrag herneme!
Oder rechne ich nur falsch!??!

also:

In der Lösung (ohne Rechnung, nur Ergebnis) wurde die unvereinfachte Ableitung hergenommen.

Es wird überprüft wenn x gegen Null geht wie sich f' Verhält.

Da denke ich mir "Ok, x geht gegen null von x<0, weil x kann ja gar nicht gegen null gehen von x>0 weil dort ist der Graph ja gar nicht definiert. So, und wenn die x-werte aus dem negativen Bereich kommen dann muss ich auch die Ableitung hernehmen die ich für eben dieses Intervall bestimmt habe."
Deshalb verwende ich meine Ableitung für dieses Intervall:
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(2x-2)\cdot -1\cdot | x-2 | } \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \Rightarrow \frac{+1}{(2x-2)\cdot (x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \end{eqnarray*}$
1.:
2x-2 geht gegen -2
x-2 geht auch gegen -2
der Nenner geht also gegen 4
der Zähler ist positiv , also ist der ganze Term positivfür x geht gegen 0
2.:
Bruch unter Wurzel:
Wurzel wid niemals negativ
Nenner geht gegen Null
Also geht der gesammte Term gegen +Unendlich

1 und 2:
Positive Zahl * +Unendlich = +Unendlich

Also geht f' gegen unendlich wenn x gegen 0 geht!

Jetzt sagt die Lösung aber: ne ne dafür brauchst du diese Ableitung :

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(2x-2)\cdot (x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \end{eqnarray*}$

und wenn ich hier x gegen 0 gehen lasse kommt natürlich statt +unendlich ; -unendlich raus! (siehe oben)

Aber warum!!??! Warum muss ich die ableitung hernehmen die gar nicht für das intervall bestimmt ist aus dem die x-werte kommen!!?!?!?

24.10.2010, 16:33

Cugu

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Es kommt in jedem Fall $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ heraus.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(2x-2)\cdot -1\cdot | x-2 | } \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \Rightarrow \frac{+1}{(2x-2)\cdot (x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, was der lustige Pfeil da soll, aber gleich sind die Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ definitiv nicht! Die beiden $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ fallen gegeneinander weg, aber es gilt $\begin{eqnarray*} |x-2|=2-x \end{eqnarray*}$ ,

24.10.2010, 16:47

Mr.Miagy

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Zitat:

2x-2 geht gegen -2
x-2 geht auch gegen -2
der Nenner geht also gegen 4
der Zähler ist positiv , also ist der ganze Term positivfür x geht gegen 0
2.:
Bruch unter Wurzel:
Wurzel wid niemals negativ
Nenner geht gegen Null
Also geht der gesammte Term gegen +Unendlich

1 und 2:
Positive Zahl * +Unendlich = +Unendlich

Also geht f' gegen unendlich wenn x gegen 0 geht!

stimmt das wohl nicht? Die Ableitung für das linke Intervall hat doch +1 im Zähler

wie kann das auf jeden fall gegen -unendlich gehen wenn ich zwei verschiedene Ableitungen habe dich sich im Vorzeichen unterscheiden ?

24.10.2010, 17:01

Mr.Miagy

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wenn auf jeden fall $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Dann heißt das ja dass ich die "unfertige" "nicht nach Intervallen unterschiedene" Ableitung dafür verwenden muss.

Aber ich habe doch zwei Ableitungen bestimmt, jeweils für die zwei Intervalle!

Warum kann ich dann für die Untersuchung des Graphen von f auf einem Intervall eine Ableitung hernehmen die in diesem Intervall überhaupt keine Gültigkeit hat!?

traurig

24.10.2010, 18:11

Cugu

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2,~~ x >2} \frac{-1}{(2x-2)\cdot \sqrt{x \cdot (x-2)} } =-\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0,~~ x <0} \frac{1}{(2x-2)\cdot \sqrt{x \cdot (x-2)} } =-\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2,~~ x >2}\frac{-1}{(2x-2)(x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } =-\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0,~~ x <0}\frac{-1}{(2x-2)(x-2)} \cdot \sqrt{\frac{x-2}{x} } =-\infty \end{eqnarray*}$

Wo liegt denn jetzt das Problem?

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