Beweise zum Bild einer Funktion

17.10.2010, 20:37

Stephan1989

Beweise zum Bild einer Funktion

Meine Frage:
Seien A,B und C Mengen und g: A -> B und f: B -> C Abbildungen. Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

a) $\begin{eqnarray*} Sind \ B1,B2 \subseteq B , so \ gilt \ g^{-1} (B1 \cup B2) \ = g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} Sind \ A1,A2 \subseteq A , so \ gilt \ g(A1 \cap A2) \ = g(A1)\cap g(A2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hab mir zuerst grob überlegt, welche der Aussagen zutreffen.
Bei der a) denke ich, dass die Aussage stimmt und bei der b) nicht.

bei der b) habe ich mir einfach folgendes Gegenbeispiel ausgedacht, um die Aussage zu widerlegen:
$\begin{eqnarray*} sei \ g:A \to B , x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$
Sei A1={-2}, A2={2}, A={-2,2}.
So kommt beim ersten die Leere Menge und beim zweiten 4 raus, was ja nicht gleich ist.

Bei der a) hatte ich etwas mehr Probleme und glaub auch, dass die Lösung so noch nicht richtig ist.

Da ich die Gleichheit zeigen will, muss ich ja den Beweis von beiden Richtungen her erbringen. Zuerst zeige ich folgendes:

1) $\begin{eqnarray*} g^{-1} (B1 \cup B2) \subseteq g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y = g(a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in B2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in \end{eqnarray*}$ A.
Dann ist y $\begin{eqnarray*} \in (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ und somit ist
$\begin{eqnarray*} a \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a = g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ ist.

Fall1: $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a \in g^{-1}(B1) \end{eqnarray*}$ , und somit auch $\begin{eqnarray*} a \in (g^{-1}(B1) \cup g^{-1}(B2)) \end{eqnarray*}$
Fall2: analog

2) nun zeige ich die Rückrichtung.

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \subseteq g^{-1} (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} y = g(a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in B2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in \end{eqnarray*}$ A.

Fall1: $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a \in g^{-1}(B1) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a=g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ . Somit ist auch $\begin{eqnarray*} a \in (g^{-1}(B1) \cup g^{-1}(B2)) \ . \ y \in (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} a = g^{-1} (y) \end{eqnarray*}$ gilt daher, dass $\begin{eqnarray*} a \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ .
Fall2: analog

Wäre nett wenn mal wer drüber schauen könnte.

Mfg Stephan

18.10.2010, 10:42

Reksilat

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RE: Beweise zum Bild einer Funktion
Hi Stephan,

Dein Gegenbeispiel sieht gut aus. Bei dem Beweis zu a) sehe ich aber noch Probleme:

Zitat:

Original von Stephan1989
1) $\begin{eqnarray*} g^{-1} (B1 \cup B2) \subseteq g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y = g(a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in B2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in \end{eqnarray*}$ A.
Dann ist y $\begin{eqnarray*} \in (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ und somit ist
$\begin{eqnarray*} a \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a = g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ ist.

Fall1: $\begin{eqnarray*} y \in B1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a \in g^{-1}(B1) \end{eqnarray*}$ , und somit auch $\begin{eqnarray*} a \in (g^{-1}(B1) \cup g^{-1}(B2)) \end{eqnarray*}$
Fall2: analog

Bei Teilmengeninklusion solltest Du auch mit einem Element aus der untersuchten Menge anfangen. Also mit "Sei $\begin{eqnarray*} a\in g^{-1} (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ ". Dann kannst Du Dir $\begin{eqnarray*} y:=g(a) \end{eqnarray*}$ definieren und damit weiterrechnen. Andernfalls ist Dein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nämlich überhaupt nicht klar definiert.

Weiterhin solltest Du mit der Bezeichnung $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ aufpassen. Ich nehme mal an, dass mit $\begin{eqnarray*} g^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ das Urbild bezeichnet wird. Das geht natürlich für jede Funktion und jede Menge. Dieser Ausdruck ist wohldefiniert.
Wenn Du allerdings $\begin{eqnarray*} a=g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ schreibst, so sieht das wie die Umkehrabbildung aus und diese existiert eben nicht für alle Abbildungen. Stattdessen kann man aber $\begin{eqnarray*} a\in g^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Gruß,
Reksilat.

18.10.2010, 14:37

Stephan1989

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RE: Beweise zum Bild einer Funktion
Hey,

danke für deine Antwort.
Haben heute bei der Mathe Übung mal eine ähnliche Aufgabe gerechnet, wo mir das ganze etwas klarer wurde. Habe das dann direkt nochmal neu gemacht.

Habe jetzt, wie von dir vorgeschlagen mit einem Element der zu untersuchenden Menge angefangen.

$\begin{eqnarray*} g^{-1} (B1 \cup B2) \subseteq g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sei \ x \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in g^{-1}(B1) \ oder \ x \in g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in g^{-1}(B1) \cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \subseteq g^{-1} (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sei \ x \in g^{-1}(B1) \cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in g^{-1}(B1) \ oder \ x \in g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in B1 \ oder \ f(x) \in B2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \in B1 \cup B2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in f^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$

glaub so ist das etwas übersichtlicher. Stimmt das diesmal?
Dachte zuerst, dass die Umkehrabbildung und das Urbild gleich sind. In deinem Post hattest du ja geschrieben, dass das Urbild im Gegensatz zur Umkehrabbildung wohldefiniert ist. Verstehe da irgendwie noch nicht ganz den Unterschied.
Wieso gilt z.B dies $\begin{eqnarray*} a=g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ nicht für alle Abbildungen?

Mfg Stephan

18.10.2010, 15:01

Reksilat

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RE: Beweise zum Bild einer Funktion

Zitat:

Original von Stephan1989
$\begin{eqnarray*} sei \ x \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in g^{-1}(B1) \ oder \ x \in g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht nachvollziehbar. Wenn $\begin{eqnarray*} x \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ ist, so folgt erst mal nur, dass $\begin{eqnarray*} g(x)\in (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$ ist.

Im zweiten Teil sollte das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wohl überall ein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sein. Augenzwinkern

Zitat:

Dachte zuerst, dass die Umkehrabbildung und das Urbild gleich sind. In deinem Post hattest du ja geschrieben, dass das Urbild im Gegensatz zur Umkehrabbildung wohldefiniert ist. Verstehe da irgendwie noch nicht ganz den Unterschied.
Wieso gilt z.B dies $\begin{eqnarray*} a=g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ nicht für alle Abbildungen?

Nehmen wir mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\g(x):=x^2 \end{eqnarray*}$

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{4\})=\{2,-2\} \end{eqnarray*}$ , da eben genau die Elemente 2 und -2 auf 4 abgebildet werden.
Was soll aber $\begin{eqnarray*} g^{-1}(4) \end{eqnarray*}$ sein? Man kann es als verkürzte Schreibweise von $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{4\}) \end{eqnarray*}$ auffassen, aber selbst dann ist es eine Menge. Einem einzigen Element kannst Du den Ausdruck $\begin{eqnarray*} g^{-1}(4) \end{eqnarray*}$ nicht zuordnen.

Wenn Du jetzt sagst: Es ist $\begin{eqnarray*} g(2)=4 \end{eqnarray*}$ , also muss auch $\begin{eqnarray*} g^{-1}(4)=2 \end{eqnarray*}$ sein, so antworte ich, dass ja auch $\begin{eqnarray*} g(-2)=4 \end{eqnarray*}$ und deshalb $\begin{eqnarray*} g^{-1}(4)=-2 \end{eqnarray*}$ ist.
Dann steht da $\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$ und das ist in der Mathematik eher unerwünscht.

Deshalb kann man die Umkehrabbildung eben nur für bijektive Abbildungen betrachten. Das Urbild einer Menge existiert hingegen für alle Abbildungen.

18.10.2010, 15:25

Stephan1989

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RE: Beweise zum Bild einer Funktion
hab die stelle jetzt nochmal abgeändert.

$\begin{eqnarray*} g^{-1} (B1 \cup B2) \subseteq g^{-1}(B1)\cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sei \ x \in g^{-1}(B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g(x) \in (B1 \cup B2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g(x) \in B1 \ oder \ g(x) \in B2 \ \ \ \ \ (An \ dieser \ Stelle \ sollte \ das \ ja \ klappen \ oder \ ?) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in g^{-1}(B1) \cup g^{-1}(B2) \end{eqnarray*}$

Jop im zweiten Teil sollts g sein Hammer

hatte auf meinem Schmierblatt alles mit f benannt.
Das mit dem Urbild und Umkehfunktion hab ich anhand deines Beispiels jetzt begriffen.

Mfg Stephan

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