Axiome der Logik

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Nashsright Auf diesen Beitrag antworten »
Axiome der Logik
Hallo! Ich will mich etwas tiefer in die mathematische Logik einarbeiten und da stellt sich mir gleich am Anfang die Frage warum beim "Satz vom ausgeschlossenen Dritten" von einem Satz geschprochen wird? Das ist für mich ein Axiom. Gleiches gilt für den "Satz der Identität". Haben sich diese Bezeichnungen einfach eingebürgert und sind trotzdem Axiome oder kann man sie tatsächlich ableiten?
Quizzmaster42 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiome der Logik
Nein, es lässt sich beweisen. Ein Axiom der (klassischen) Logik ist folgendes:
"Eine Aussage besitzt genau einen von zwei Wahrheitswerten, wahr oder falsch."

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten "folgt" unmittelbar daraus, dadurch ist es ein vom Axiom abgeleiteter Satz.
Nashsright Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke schonmal. Aber wie kann man aus dem von dir genannten "Prinzip der Zweiwertigkeit" den Satz vom ausgeschlossenen dritten folgern? Wenn eine Aussage wahr ist, kann man meiner Meinung nach ja formal noch nicht behaupten(nur durch das von dir genannten Axiom), dass das Gegenteil dieser Aussage falsch ist. Das heißt es wäre nicht gesagt, dass das Gegenteil nicht gleichzeitig gilt, oder irre ich mich da?
Quizzmaster42 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist den "das Gegenteil einer Aussage"? Ich würde jetzt behaupten, dass das Gegenteil einer Aussage so definiert ist, dass es immer den entgegengesetzten Wahrheitswert annimmt. So hätten wir das Problem gelöst.
Nashsright Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bräuchte man diesen Satz aber auch nicht folgern, weil das "Gegenteil" definiert ist(auch wieder als Axiom eigentlich).

/edit: also ich meine das Gegenteil ist doch einfach die Negation. Und der Satz vom ausgeschlossenen dritten gibt dann an, dass entweder die Negation oder die Aussage selbst gelten muss. Wenn man jetzt das Gegenteil/Negation schon vorher so definiert wie du braucht man diesen Satz nicht.
Quizzmaster42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nashsright
Dann bräuchte man diesen Satz aber auch nicht folgern, weil das "Gegenteil" definiert ist(auch wieder als Axiom eigentlich).


Eine Definition ist kein Axiom!

Zitat:
Original von Nashsright
also ich meine das Gegenteil ist doch einfach die Negation. Und der Satz vom ausgeschlossenen dritten gibt dann an, dass entweder die Negation oder die Aussage selbst gelten muss. Wenn man jetzt das Gegenteil/Negation schon vorher so definiert wie du braucht man diesen Satz nicht.


Aus dem Bivalenzprinzip und der Gegenteilsdefinition kann man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten folgern. So trivial die Herleitung auch sein mag, er muss hergeleitet werden! Das man den Satz nicht braucht, würde ich nicht behaupten. Er sagt schließlich, dass es keinen dritten Zustand geben kann. Der Schritt von "Es gibt nur die zwei Zustände" zu "Es kann keinen Dritten geben" mag zwar klein sein, aber es ist eine logische Schlussfolgerung. Wir sind hier außerdem auf den Grundfesten der Logik, wo die Aussagen auch alle sehr philosophische und erkenntnistheoretisch wertvoll sind. Und die Aussage "Es gibt nichts zwischen wahr und falsch" ist doch eigentlich sehr wichtig, oder?
 
 
Nashsright Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nashsright
Dann bräuchte man diesen Satz aber auch nicht folgern, weil das "Gegenteil" definiert ist(auch wieder als Axiom eigentlich).

Eine Definition ist kein Axiom!


Stimmt natürlich, sry.

Zitat:
Original von Quizzmaster42
Aus dem Bivalenzprinzip und der Gegenteilsdefinition kann man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten folgern. So trivial die Herleitung auch sein mag, er muss hergeleitet werden! Das man den Satz nicht braucht, würde ich nicht behaupten. Er sagt schließlich, dass es keinen dritten Zustand geben kann. Der Schritt von "Es gibt nur die zwei Zustände" zu "Es kann keinen Dritten geben" mag zwar klein sein, aber es ist eine logische Schlussfolgerung. Wir sind hier außerdem auf den Grundfesten der Logik, wo die Aussagen auch alle sehr philosophische und erkenntnistheoretisch wertvoll sind. Und die Aussage "Es gibt nichts zwischen wahr und falsch" ist doch eigentlich sehr wichtig, oder?

Ist einleuchtend. Allerdings gilt der Satz vom ausgeschlossenen dritten auch wenn es mehr als 2 Wahrheitswerte gibt, weswegen es wohl auch von wiki als Axiom geführt wird.

Am Anfang erwähnte ich auch noch den "Satz der Identität". Hier wird auch von einem Satz gesprochen, der diesmal aber wirklich ein Axiom ist oder?
Quizzmaster42 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit mehr als zwei Wahrheitswerten wäre es dann aber ein anderes Axiomensystem. Kommt halt immer darauf an, wo man es betrachtet... Stimmt aber, ein Satz in einem Axiomensystem kann ein Axiom in einem anderen Axiomensystem sein...

Satz von der Identität? Gute Frage. Ein Satz ist prinzipiell etwas, was aus den Axiomen (und Definitionen) eines Axiomensystems gefolgert wird. Man müsste jetzt überprüfen, was die Axiomen sind, auf denen die Identität(=) definiert wird. Die Identität ist ja auch nichts anderes als eine (Äquivalenz)relation. Und dadurch, dass es eine ÄR ist, ist sie auch reflexiv, und so gilt a=a...

Stimmt aber, scheint sehr axiomatisch bzw. der Satz ist einfach Teil der Definition der Identität. Schließlich folgern wir das nicht aus der Reflexivität, sondern das ist die Reflexivität einer ÄR.

Ich bin jetzt nämlich auch nicht gerade der Logikexperte, da würde mich mal interessieren, was der Rest des Forums dazu sagt, weil mir gehen langsam die Ideen aus. Big Laugh (Außerdem muss ich jetzt erstmal für ein paar Stunden weg)

Ist aber auf jeden Fall ein sehr interessantes Thema.
Nashsright Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Unterschied zwischen einem Satz und einem Axiom (und auch zwischen einer Definition) ist meiner Meinung nach elemntar in der Mathematik und dementsprechend auch in der Logik, denn ohne Logik ist keine Folgerung in der Mathematik mögiich.

Deswegen fänd ich es interessant mit welchen Axiomen die Logik, insbesondere die Prädikatenlogik auskommt.
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