Summe von N über K

17.10.2010, 23:49	leflo	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von N über K Abend Leute, das ist die letzte Aufgabe von meinem ersten Mathe Übungszettel und ich weiß null wie ich die lösen soll. Hab leider nicht mal einen Ansatz. Wir sollen zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^{n} \end{eqnarray}$ ist. Mich verwundert schon, dass unter dem Summe Zeichen nur k steht und nicht k=5 oder so. Weiß wirklich leider gar nicht was zu tun ist. Danke!
18.10.2010, 00:12	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
induktion über n - schon mal gehört?
18.10.2010, 00:16	leflo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne aus dem Vorkurs den Begriff Vollständige Induktion (Richtete sich aber nur an diejenigen die Mathe/Physik studieren und daher hab ich nicht wirklich detailliert verfolgt wie das geht.) Meinst du das?
18.10.2010, 00:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die vollständige Induktion wirst du für den Beweis brauchen. Entweder du zeigst die Aussage direkt, oder du beweist die stärkere Aussage (die binomische Formel) $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N_0,~a,b\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und führst dann deine Aussage auf einen Spezialfall der binomischen Formel zurück.
18.10.2010, 00:37	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
du prüfst die formel im induktionsanfang für zb n=1,dann nimmst du an die formel gelte für ein gewisses n und musst nun schauen dass sie auch für n+1 gilt,heißt, du beginnst mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und formst dies um, bis du nachher deine Induktionsvoraussetzung ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=2^{n} ) \end{eqnarray}$ einsetzen kannst und solltest dann nachher $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ erhalten

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