absolute Konvergenz einer Reihe

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lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »
absolute Konvergenz einer Reihe
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe auf meinem Übungszettel:

Beweise. Wenn \sum\limits_{n=1}^\infty a_n absolut konvergiert, dann auch \sum\limits_{n=1}^\infty a_n² absolut.

Meine Ideen:
ich habe gedacht, dass ich das Caucky-Produkt anwenden kann. Also eine Folge als a_n nennen und eine b_n, aber ich bin mir sehr unsicher, weil ja da die Voraussetzung ist, dass beide absolut konvergieren und ich weiß ja, dass nur eine absolut konvergiert.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank für eure Hilfe
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir fällt spontan eine etwas holperige (aber richtige) Beweisidee ein :

Wenn die entsprechende Reihe absolut konvergiert, so ist eine Nullfolge. Dann gibt es ein N so dass



dann ist aber



also?
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

folgt dann nach dem Majorantenkriterium auch , dass a² auch eine Nullfolge ist oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das eine Nullfolge ist, ist zwar richtig, bringt dir aber nichts, da es nur ein notwendiges und kein hinreichendes Kriterium ist. Majorantenkriterium ist aber ein gutes Stichwort. Du musst nur genau hinschreiben welche Reihe Du betrachtest.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Ich betrachte doch die Reihe \sum\limits_{n=1}^\infty a_n. Diese ist größer als \sum\limits_{n=1}^\infty a_n².
Daraus folgt doch dann dass a²_n auch absolut konvergiert
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich betrachte doch die Reihe \sum\limits_{n=1}^\infty a_n. Diese ist größer als \sum\limits_{n=1}^\infty a_n².


Das ist im Allgemeinen falsch. Ich habe dir den Tip mit dem N nicht umsonst gegeben.
 
 
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Ok wenn ich mir das mit dem N nochmal anschaue, dann folgt daraus ja auch , dass a²_n auch kleiner eins ist für alle n>=N oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ok wenn ich mir das mit dem N nochmal anschaue, dann folgt daraus ja auch , dass a²_n auch kleiner eins ist für alle n>=N oder?


Das ist richtig. Aber auch das bringt dir nichts. Du solltest die Reihe



geschickt in zwei Teilsummen aufspalten. Dabei Hilft dir das N.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

a²_n ist doch dann /a_n/*/a_n/ oder?
Ich bin mir aber sehr unsicher ob das stimmt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Warum versuchst Du nicht erst einmal den Hinweis

Zitat:
Du solltest die Reihe



geschickt in zwei Teilsummen aufspalten


umzusetzen? Die Lösung schreibt sich damit in einer Zeile hin.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das dann
\sum\limits_{i=1}^\infty a_{i} * a_{i}
???

Sorry dass ich mich so dumm anstelle, aber ich habe noch nicht wirklich den Durchblick.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hab ich das Gefühl Du denkst über meine Vorschläge gar nicht nach.

Wenn Du eine Reihe



hast, dann kannst Du sie in eine endliche Summe plus Reihenrest umschreiben :



Das ist überhaupt keine Hexerei. Ansonsten ist natürlich . Aber auch das brauchst Du gar nicht.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist logisch.
Es ist nicht so, dass ich nicht darüber nachdenke. Wir haben nur Reihen erst letzte Woche angefangen und mir ist noch nicht ganz klar, was ich damit anfangen soll.

kann ich jetzt die beiden Teilsummen separat betrachten?
Oder darf ich nur als ganzes damit umgehen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst willst Du zeigen dass



gilt. Man kann den Spaß umschreiben zu :



Jetzt schaust Du dir an ob die beiden Teilsummen kleiner als unendlich sind. Dann ist es nämlich auch ihre Summe. Du musst nur noch k richtig wählen.
lakritzstange Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe.
Ich hoffe ich bekomme es jetzt hin.
Nanunana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, der Beitrag ist ewig alt, und doch muss ich hier nochmal weiter nachfragen. Ich bekomme k nämlich anscheinend nicht richtig gewählt...
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