Grenzwert von Folgen

18.10.2010, 12:58	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Folgen Hallo, ich habe folgende Aufgabe, habe auch teils die Lösung - nur wie man dahin kommt ist mir nicht ganz klar - also die Umformung. Ich muss den Grenzwert einer Folge vom Type $\begin{eqnarray} a_{n}_{n \elem \nat} \end{eqnarray}$ bestimmen: $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{4n^2 - n^4}{3(n^2 + 1)^2} \end{eqnarray}$ Also multipliziere ich den Nenner wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \frac{4n^2 - n^4}{3(n^4 + 2n^2 + 1)} \end{eqnarray}$ . Das nächste Ergebnis meiner Lösung ist nun $\begin{eqnarray} \frac{\frac{4}{n^2} - 1}{3+\frac{6}{n^2} + \frac{3}{n^4}} \end{eqnarray}$ genau aber der Schritt zu diesem Zwischenergebnis ist mir nicht klar und daher das Endergebnis, welches mir auch klar ist $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Vielleicht kann mir jemand kurz auf die Sprünge helfen wie man das bewerkstelligt? Vielen Dank, lg
18.10.2010, 13:03	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wurde sowohl im Nenner als auch im Zähler $\begin{eqnarray} n^4 \end{eqnarray}$ ausgeklammert und anschließend gekürzt. Es ist oft sinnvoll bei Brüchen von Polynomen den größten Grad auszuklammern (nicht immer, aber oft).
18.10.2010, 13:50	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Vielen Dank!!!! Jetzt ists mir klar
18.10.2010, 15:13	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wir gerade beim Thema sind und ich bei einem anderen Beispiel hänge: $\begin{eqnarray} (1+\frac{2}{n}^{3n} \end{eqnarray}$ Hier mal mein Ansatz: $\begin{eqnarray} = e^{ln(1+\frac{2}{n}^{en}} = 3n ln(1+\frac{2}{n} = \frac{ln(1+\frac{2}{n}}{\frac{1}{3n}} = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ Jetzt müsst ich doch den l'Hospital anwenden oder? Danke schon mal!
18.10.2010, 15:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum schreibst Du so konsequent keine schließende Klammer? Du kannst es mit L'Hospital machen, ich würde einfach $\begin{eqnarray} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n} = \left(\left[1 + \frac{2}{n}\right]^n\right)^3 \end{eqnarray}$ machen, und dann den bekannten Grenzwert in den eckigen Klammern hinschreiben.
18.10.2010, 16:48	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das mit den Klammern ist keine Absicht, hab wohl im Latex-Term etwas übersehen Also wenn ich deinen letzten Term jetzt "analysiere", kann ich da wie folgt den Grenzwert ermitteln: Da $\begin{eqnarray} 1 + \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ gegen eins strebt (da $\begin{eqnarray} \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ gegen null strebt) und daher der ganze Term $\begin{eqnarray} \left(\left[1 + \frac{2}{n}\right] ^ n\right)^3 \end{eqnarray}$ gegen eins strebt kann ich sagen das der Grenzwert eins ist? Oder was meinst du mit dem "bekannten" Grenzwert? Hoffe ich habe mich halbwegs klar ausgedrückt Danke schon mal, lg
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18.10.2010, 17:14	Hans A. Plast	Auf diesen Beitrag antworten »
Der bekannte Grenzwert lautet: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n=e. \end{eqnarray}$
20.10.2010, 17:03	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Wenn ich jetzt also fertig rechne, dann bekomme ich als Grenzwert $\begin{eqnarray} e^6 \end{eqnarray}$ ? Ist das korrekt? Vielen Dank für eure Bemühungen
20.10.2010, 17:47	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt.

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