Funktionenscharen

18.10.2010, 18:55

mathelooser12

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Funktionenscharen

Meine Frage:
Hallo
Ich sitze gerade vor einerr Aufgabe und weiß nicht genau ob ich sie richtig löse... Kann mir jemand helfen?
Die Graphen von ft für t>0 und g mit ft(x)= 4-t*x² und g(x)=0,5*x²-2 begrenzen eine Fläche, der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck einbeschrieben wird. Für welche Lage der Eckpunkte wird sein Flächeninhalt (sein Umfang) extremal? Geben Sie Art und Wert des Extremums an.

Meine Ideen:
Als erstes mache ich eine Zielfunktion
A= 2x*y
NB: y= f(x)- g(x)
Endgültige Zielfunktion: A= 2x* ( 4-tx^2)- (0.5x^2-2)
= 2x*(6-0.5x^2-tx^2)
= 12x-1x^3-2tx^3
A'(x)= 12-3x^2-6tx^2
Jetzt komme ich nicht weiter...

19.10.2010, 09:44

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen

Zitat:

Original von mathelooser12
= 2x*(6-0.5x^2-tx^2)

Kannst du mir erklären, wie du auf diese Zeile gekommen bist?

20.10.2010, 01:10

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
ich habe erst f(x) minus g(x) gerechnet und dann kriege ich das, was du mich fragst raus. Und dann multipliziere ich die Klammer mit 2x.
Ist das falsch?
Am Angang dachte ich, dass man vllt. f(x) für x nimmt und g(x) für y.
So könnte ich dann den Flächeninhalt ausrechnen, aber das wäre wahrscheinlich nicht richtig und deshalb habe f(x) und (g) minus gerechnet.

20.10.2010, 08:35

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen
OK. Ich hatte etwas anderes gelesen. Diese leerzeichenfreie Schreibweise mathematischer Ausdrücke ist nicht immer leicht zu entziffern. Vielleicht lag es auch daran, daß hier

Zitat:

Original von mathelooser12
Endgültige Zielfunktion: A= 2x* ( 4-tx^2)- (0.5x^2-2)

Klammern fehlten. Vollständig muß es $\begin{eqnarray*} A(x) = 2x \cdot ((4 - tx^2) - (0.5x^2 - 2)) \end{eqnarray*}$ heißen.

Wie dem auch sei, die Ableitung A'(x) ist ok. Was braucht man denn von der Ableitung bei der Bestimmung von Extrema?

20.10.2010, 14:25

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Man muss die Ableitung 0 setzen und dann die Nullstellen ausrechnen( also die Extremstellen einer Funktion)
Ich habe auch weitergerechnet:
$\begin{eqnarray*} 12- 3x^{2} - 6tx^{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12- \left(3-6t\right) *x^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(3-6t)*x^2=-12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-3+6t)*x^2=-12 \end{eqnarray*}$
jetzt teile ich durch -3 und habe:
$\begin{eqnarray*} (1-2t)*x^2=4 \end{eqnarray*}$
Und jetzt weiß ich nicht mehr, ob das richtig ist und wie ich die x-Stellen ausrechnen kann... unglücklich

unglücklich

23.10.2010, 23:49

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Kann mir jemand sagen, ob ich bis jetzt richtig gerechnet habe und wie ich den x-Wert ausrechnen kann?

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25.10.2010, 10:20

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen

Zitat:

Original von mathelooser12
$\begin{eqnarray*} 12- 3x^{2} - 6tx^{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12- \left(3-6t\right) *x^2=0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du in der Klammer einen Vorzeichenfehler eingebaut.

Zitat:

Original von mathelooser12
Und jetzt weiß ich nicht mehr, ob das richtig ist und wie ich die x-Stellen ausrechnen kann... unglücklich

unglücklich

Wo ist das Problem? Was würdest du denn bei 2x² = 4 machen?

25.10.2010, 13:45

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Aber da ist noch das t im Spiel unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} (1-2t)*x^2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2- 2tx^2=4 \end{eqnarray*}$

Bei 2x^2=4 würd ich erst durch 2 teilen und dann die vurzel ziehen, aber bei dieser aufgabe ist das t im Spiel, was mich ein bisschen verwirrt.

25.10.2010, 13:52

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen

Zitat:

Original von mathelooser12
Ich habe auch weitergerechnet:
$\begin{eqnarray*} 12- 3x^{2} - 6tx^{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12- \left(3-6t\right) *x^2=0 \end{eqnarray*}$

Also jetzt müssen wir da oben erstmal den Fehler korrigieren. Löse die 2. Gleichung auf. Kommst du dann auf die 1. Gleichung?

26.10.2010, 13:25

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
ich weiß, was ich falsch gemacht habe.
in Klammern muss ein + stehen
Also 12- x^2(3+6t)=0
Und das ist dann 12-3x^2- 6tx^2=0
-3x^2-6tx^2=-12
x^2- 2tx^2=4
wie kriege ich trotzdem x raus?
Was kann ich auf die andere Seite bringen (z.b das t)?
vllt. -2tx^2=4-x^2 / unglücklich

unglücklich

-2t)
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{4-x^2}{-2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \frac{2-x}{\sqrt{2t} } \end{eqnarray*}$ ?
Ich hab keine Ideen mehr...

26.10.2010, 13:58

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen

Zitat:

Original von mathelooser12
Also 12- x^2(3+6t)=0

Jetzt nehmen wir erstmal das und den Rest vergessen wir. Und stör dich nicht an dem t. Was würdest du mit 12 - x² * 3 = 0 machen? Das gleiche machst du dann eben mit 12 - x² * (3+6t) = 0 .

26.10.2010, 15:43

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Ich habe die 12 auf die andere Seite gebracht
Also: $\begin{eqnarray*} -x^2*(3+6t)=-12 \end{eqnarray*}$
Anders geschrieben:
$\begin{eqnarray*} -3x^2- 6tx^2=-12 \end{eqnarray*}$
Jetzt teile ich durch -3 und habe:

$\begin{eqnarray*} x^2+2tx^2=4 \end{eqnarray*}$
Kann ich x^2 mit 2tx^2 addieren? Und muss ich vllt. erst t ausrechnen und dann ensetzen um x ( also die Extremstelle) auszurechnen???

26.10.2010, 15:53

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Kommt
$\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{\sqrt{2t} } \end{eqnarray*}$

26.10.2010, 15:58

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen

Zitat:

Original von mathelooser12
Also: $\begin{eqnarray*} -x^2*(3+6t)=-12 \end{eqnarray*}$

Laß doch mal die Klammer stehen und bring diese auf die andere Seite.

26.10.2010, 16:16

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Ist das Ergebnis falsch?
Wie bring ich die Klammer auf die andere Seite?
Ist das x^2=-12- (3+6t) ?

oder:
$\begin{eqnarray*} x^2= \frac{-12}{(3+6t)} \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2010, 08:40

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen
Letzteres wäre richtig, wenn du da nicht ein Vorzeichen verschlampt hättest.

Ich frage mich, was denn da bei dir das Problem ist. Das geht doch alles nach bekannten Mustern. Und wenn du zweifelst, dann setze einfach mal t=0, dann solltest du hoffentlich wissen, was zu tun ist.

27.10.2010, 18:11

mathelooser12

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RE: Funktionenscharen
Ich dachte, dass x^2 wegfallen würde. weiß nicht warum, aber wenn ich x^2 nicht ausklammern würde, hatte ich den eindruck, dass x^2 wegfällt.
also es muss im zähler +12 stehen?

28.10.2010, 08:39

klarsoweit

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RE: Funktionenscharen
Ja. Wo ist denn das Problem? Du brauchst doch nur in

Zitat:

Original von mathelooser12
Ich habe die 12 auf die andere Seite gebracht
Also: $\begin{eqnarray*} -x^2*(3+6t)=-12 \end{eqnarray*}$

die Gleichung mit -1 zu multiplizieren und durch (3+6t) zu dividieren. Und wo soll da das x² wegfallen?

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