Gruppe Beweis

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mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Beweis
Hallo!

Wenn ich eine Gruppe über eine Grundmenge G mit einer Verknüpfung * gegeben habe und von drei Elementen a,b,c aus G weiß, dass a*b*c=1 ist, wie kann ich dann zeigen, dass b*c*a=1 ebenfalls gilt?

Mein Vorschlag:

a*b*c=1 <=> (a*b)*c=1 <=> a*(b*c)=1 (soweit klar, da Assoziativgesetz in jeder Gruppe gilt)

<=> (b*c)*a=1 (ist dieser Schritt richtig? bzw. eigentlich könnte ich den doch nur über das Kommutativgesetz begründen, von dem ich aber nicht zwangsläufig weiß, dass es gilt, da die Gruppe nicht unbedingt abelsch ist)

<=> b*c*a=1 (wäre dann wieder trivial)



Gibt es außerdem eine Möglichkeit zu zeigen, dass b*a*c=1 gilt oder kann man das nicht unbedingt folgern?
Mir wäre das in einer kommutativen Gruppe klar, aber in einer von der ich nicht weiß, ob das KG gilt, würde ich sagen, kann man das nicht unbedingt folgern, oder?

Danke und Grüße!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Beweis
Multiplizier doch erstmal rechts a an (warum darfst du das?) - Was darfst du dann machen?
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Beweis
Richtig - dein Schritt funktioniert so nur über Anwendung des Kommutativgesetzes, was du nur in abelschen Gruppen hast.

Meine Idee: Du darfst ja von rechts und links was dranmultiplizieren - wenn du es nur auf beiden Seiten tust... Wie wäre es denn, wenn man mal das a da am Anfang wegmachen würde?

Gruß
MI

EDIT: Ein paar Sekunden zu spät...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Gruppe nicht kommutativ ist, darfst du den Schritt natürlich nicht machen; arbeite mal ein wenig mit den Inversen Elementen.

Edit: Aller Guten Dinge sind drei...? Augenzwinkern
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch dreien für die Dreifachantwort ;-)

Sehe ich das richtig, dass ich so argumentieren kann:

a*b*c=1
<=> 1/a*a*b*c=1/a*1
<=> 1*b*c=1/a
<=> b*c=1/a
<=> b*c*a=1/a*a
<=> b*c*a=1

Dann hätte ich aber noch zwei Fragen:

1. Woher weiß ich, dass 1/a ebenfalls in G liegt?

2. Ich könnte auf die gleiche Art und Weise noch zeigen, dass c*a*b=1 gilt, aber nicht, dass a*c*b=1 oder b*a*c=1 oder c*b*a=1 gilt, da ich in diesen Fällen jeweils das Kommutativgesetz bräuchte, richtig?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

1. Gruppenaxiome

2. Richtig
 
 
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!! 1. weil in jeder Gruppe ein Inverses Element existiert - glaub jetzt ist es klar! ;-)
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