Körper mit 4 Elementen |
| 18.10.2010, 20:36 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Körper mit 4 Elementen Hallo zusammen, eine Frage: Warum handelt es sich bei einer Menge von vier Elementen 0, 1, 1+1 und 1+1+1 in Z nicht um einen Körper,wenn die Elemente sich unterscheiden? Meine Ideen: Ich dachte mir, dass 0 dass neutrale Element bzgl + ist und 1 bzgl. mal. Wenn jetzt 1+1+1 das inverse Element zu 1+1 ist, dann ist 1+1+1+1+1=0. Es gilt auch 1+1+0=1+1 Jetzt brauche ich noch ein inverses Element für mal. Sagen wir, dass 1+1+1 auch hier das inverse Element zu 1+1 ist. Oder geht das nicht? Ich versteh nich, warum 0, 1, a, b ein Körper sein kann, dieses aber nicht. |
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| 18.10.2010, 20:41 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In Körpern gilt immer Jetzt schau dir mal in dieser Menge das Produkt an. |
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| 19.10.2010, 09:49 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das versteh ich nicht. 1.: Kann ich einfach sagen, dass 1+1=2ist und nicht Helga heißt? Geht das, weil ich mich in Z befinde? 2.: Warum soll ich mir 2mal2 anschauen? Die Bedingung ist doch erfüllt, weil ich ein 0Element in der Menge hab: 2mal0=0... 
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| 19.10.2010, 09:53 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nenn es Helga, Fritz oder 2. Ist egal. Stelle dir einfach einmal die Verknüpfungstabellen deines "Körpers" auf. Dann wirst du entweder einen Widerspruch finden, oder den Körper mit 0,1,a,b den du schon kennst |
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| 19.10.2010, 09:56 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja genau mein Problem. Warum kann ich 0,1,a,b, was ja ein Körper ist, nicht einfach in 0,1+1, 1+1+1, 1 umbenennen und habe wieder einen Körper? |
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| 19.10.2010, 10:05 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil nunmal 1+1=0 gilt. Klar wäre es möglich, aber dann musst du immer zwischen dem Namen 1+1 und dem Term 1+1 unterscheiden! Wenn du es statt 1+1 aber 2 nennst entsteht dort kein Problem(außer das es immer noch sehr verwirrend benannt ist) |
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| 19.10.2010, 10:28 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum gilt 1+1=0? |
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| 19.10.2010, 10:35 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da der Körper die Ordnung 4 hat, muss die Ordnung der 1 in der additiven Gruppen ein Teiler von 4 sein. Ordnung 1 ist nicht möglich. Nehmen wir einmal an 1 hat die Ordnung 4. Dann gilt 1 + 1 + 1 + 1 = 0 aber 1 + 1 ist nicht 0. Es ist aber (1+1)*(1+1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 0. Damit gibt es einen Nullteiler, diese gibt es aber in Körpern nicht(siehe Beitrag von Sly). Also gilt 1 + 1 = 0 |
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| 19.10.2010, 16:47 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh das einfach nicht. Hatte erst zwei Vorlesungen dazu und Teiler von Gruppen o.ä. kam da nicht vor. Das muss also irgendwie ganz einfach zu lösen sein. Wahrscheinlich sogar mit den Axiomen der beiden Gruppen. |
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| 19.10.2010, 16:56 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja ohne jegliche Theorie bleibt nur noch das ausprobieren. Du kannst dir in dem Fall auch überlegen dass falls 1+1 nicht 0 ist "der Körper" bereits Z/4Z entspricht. Das ist aber kein Körper da die 2 nicht invertierbar ist. |
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| 19.10.2010, 18:21 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@kiste, du magst es ja noch so gut meinen. Aber wenn ich das von uns her kenne, ist man nach zwei Vorlesungen noch nicht bei Restklassen angekommen. Ein Körper zeichnet sich jetzt ja dadurch aus, dass es zu jedem Element ein multiplikatives Inverses existiert. EDIT: Ein paar Äußerungen wieder gelöscht, die erst Sinn machen, wenn die folgende Frage beantwortet wurden. Sind die Operationen + und *, die gleichen wie die aus Z? Wenn ja, könnte man hier wohl schon direkt über die Abgeschlossenheit argumentieren. |
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| 19.10.2010, 18:27 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja chrizke, dein Ansatz ist nichts anderes als mein bereits vorgeschlagenes "alles ausprobieren". Es lässt sich übrigens ein Inverses zu 2 finden, du hast nämlich nicht vorrausgesetzt dass 2 = 1 + 1 gelten soll. Das hilft also nicht zur Frage warum 1 + 1 = 0 gelten muss. Übrigens ist es auch nicht üblich dass man nach 2 Vorlesungen bereits einen Körper mit 4 Elementen kennt. |
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| 19.10.2010, 18:33 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab nochmal editiert. Es ist ja eben kein Körper 
Wobei das noch erst von den Operationen abhängt. Bis jetzt haben wir ne Teilmenge von Z und keine Angabe zu + und * |
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| 19.10.2010, 21:39 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da könnten ja vielleicht die Axiome helfen, die wir für Körper haben: A1: (x+y)+z=x+(y+z) A2: x+y=y+z A3:x+n=x A4: x+y=n M1: (x*y)*z=x*(y*z) M2: x*y=y*x M3: x*e=x M4: x*y=e Ich find aber einfach nicht raus, warum die gegebene Gruppe davon was nicht erfüllen sollte. |
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| 19.10.2010, 21:55 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Werd doch einmal konkret. Was ist die Verknüpfungstabelle deines "Körpers"? |
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| 20.10.2010, 00:40 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Distributivgesetz hast du vergessen aufzuzählen. An der Verbindung scheitert es. (Vielleicht auch schon vorher. Da müsstest du die Experten hier fragen.) Der kiste hat das schön mit seinem Beispiel erklärt. So wäre 2=0 und damit hätte die angebliche Gruppe zwei neutrale Elemente, was per Definition keine Gruppe mehr ist (also auch kein Körper). |
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| 20.10.2010, 09:04 | iks85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Körper K ist eine Menge K mit 2 Abbildungen: 1. (a,b) auf a+b 2. (a,b) auf a*b Warum geht das Distributivgesetz nicht? zB (1+1)*(1+1)=1+1+1+1. Warum muss das null sein? Vielleicht weil 1+1+1+1 nicht meiner Gruppe existiert? |
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| 20.10.2010, 17:10 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist 1+1+1+1 ein Element oder ein Term? Schreib doch einfach {0,1,2,3} oder {a,b,c,d}, dann ist es nicht mehr so verwirrend. |
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| 20.10.2010, 17:20 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du einen Körper definieren möchtest, dann musst du auch die Elemente benennen und die Verknüpfung definieren. Insbesondere solltest du natürlich wissen was 1+1+1+1 sein soll. Magst du die 0 nicht, so definiere es dir anders. Dann wird es nur irgendwo einen Widerspruch zu den Eigenschaften eines Körpers geben |
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