Grenzwert einer Reihe

11.11.2006, 17:17

Noob

Grenzwert einer Reihe

Hallo...

Unersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz (Konvergenzbereichsintervall)!

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~n^n x^n \end{eqnarray*}$

Also erstma Konvergenzradius suchen:

(QK)

da kommt dann $\begin{eqnarray*} \infty |x| < 1 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} |x| < 0 \end{eqnarray*}$

Also gibt es kein x für das die Reihe konvergiert ??

Hm weil in der Lösung steht KI: (1,3]

Das kann doch garnich sein oder ?

11.11.2006, 18:09

Ambrosius

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also auf die schnelle würd ich sagen, das der Konvergenzradius 0 ist, also du recht hast.
wie hast du das denn gemacht?

11.11.2006, 18:26

Noob

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mit dem Quotientenkriterium...

11.11.2006, 18:33

abc

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geht auch einfacher: $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert nie für nicht-Nullfolgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ (kann man sich leicht klarmachen).

11.11.2006, 19:29

Ambrosius

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wir sind aber nicht bei reihen, sondern Potenzreihen. Ich denke nicht, das das Nullfolgenkriterium dort gilt. Denn

Betrachte die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}~(2+(-1)^n)^n x^n \end{eqnarray*}$ Die Folge konvergiert nicht, denn sie hat zwei verschiedene Häufungswerte, nämlich $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{-n} \end{eqnarray*}$ .

Das Quotientenkriterium ist hier nicht anwendbar, also muss man die Formel von Cauchy-Hadamard anwenden. Die liefert Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

11.11.2006, 21:08

Noob

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Hmm also das haben wir garnicht behandelt... Das ist doch eine Potenzreihe... und wieso kann ich dann nicht das QK anwenden ???
Bei den vorangegangenen Aufgaben habe ich das auch immer getan...

Hier mal meine Unterlagen

Aufgaben Aufgabe 3 d

Lösungen

Vorgehensweise Arbeitsblatt (Unten steht wie man vorgeht)

Dieses Cauchy-Hadamard kommt auch immer nur im Zusammenhang mit Potenzreihen in Verbindung mit komplexen Zahlen...

hmm ?

Grüße

11.11.2006, 21:19

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Ambrosius
Die Folge konvergiert nicht, denn sie hat zwei verschiedene Häufungswerte, nämlich $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{-n} \end{eqnarray*}$ .

Die Häufungswerte sind aber $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ! Und gegen das Quotientenkriterium ist bei der ursprünglichen Aufgabe genauso wenig einzuwenden wie gegen das "Nullfolgenkriterium". Potenzreihen sind auch Reihen, wenn man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festlässt. Und da für jedes (feste) $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ die Folge der Glieder keine Nullfolge ist, divergiert die zugehörige Reihe. Also konvergiert die Potenzreihe nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

edit: Verschoben

11.11.2006, 22:19

Noob

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Danke... Also isch die Lösung vom PROF falsch böse

... da grübelt man ewig rum was das soll... und dabei hat man selber RECHT!!!!
und der Prof hat alles falsch gemacht !!! böse

Nix für Ungut Wink

12.11.2006, 22:11

Ambrosius

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Also ich denke das das eine Definitonssache ist.

Das Quotientenkriterium für Konvergenzreihen ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} \Big| \frac{a_n}{a_{n+1}} \Big| \end{eqnarray*}$ Da der Limes in meinem geg. Beispiel nicht existiert, ist das Quotientenkriterium dabei nicht anzuwenden.

Im von Noob gegeben Problem ist das QK natürlich anwendbar.

Nun noch was in eigener Sache. Ich kenne das Nullfolgenkriterium nur für Reihen. In meinem Beispiel ist ja nun eine Potenzreihe gegeben, die nicht Nullfolge beinhaltet, wohl aber Konvergenzradius > 0 hat. wie genau ist dieses Kriterium denn nun für Potenzreihen zu verstehen?

Die korrigierten Häufungswerte stimmen natürlich

12.11.2006, 22:16

Mathespezialschüler

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Das Nullfolgenkriterium ist keine "globales", d.h. für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gültiges, Kriterium für Potenzreihen, sondern ein "lokales". Man wählt sich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest und untersucht dann für dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ob das Nullfolgenkriterium gilt. Dafür muss man sich natürlich nicht jedes $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ einzeln wählen, man kann auch mehrere $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ betrachten, z.B. $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ . Dann sagt man einfach: Sei $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Dann gilt für dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für die Glieder der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray*}$ , dass sie keine Nullfolge sind. Damit divergiert die Reihe für dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ beliebig war, divergiert die Potenzreihe für alle $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ .
Ist also nur ein kleiner "Trick".

Gruß MSS

12.11.2006, 22:18

Ambrosius

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Ahso. Na dann habe ich dich wohl etwas falsch verstanden. Aber diesen Trick habe ich bisher noch nicht zu Gesicht bekommen, aber ich denke das der ganz hilfreich sein kann.

Danke Freude

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