kgV mit negativen Zahlen?

18.10.2010, 22:37

fre4k

kgV mit negativen Zahlen?

Guten Abend,

ich rechne gerade ein paar kgV und ggT Beispiele , jetzt hab ich eins wo negative Zahlen vorkommen

z.B.: kgV(24*x*y, -36*x³*y³, -36*x*y²)

ich arbeite immer mit der Primfaktorzerlegung aber wie muss ich mit dem Vorzeichen umgehen ???

mfg

18.10.2010, 22:59

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte es als -1 Augenzwinkern

Dann siehst du gleich, dass es für 24xy nicht in Frage kommt.
Dann kannst du von den anderen einfach den Betrag betrachten. Fertig^^

18.10.2010, 23:09

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Vorzeichen ändert nichts an der Teilbarkeit bzw. Primfaktorenzerlegung, somit gestaltet sich die Rechnung genauso, wie wenn alle Zahlen positiv wären.
Denn wenn z.B. 14 durch 7 teilbar ist, ist es auch -14.

Normalerweise sind ggT und kgV von vornherein für positive Zahlen definiert.

Wenn man will, kann man so vorgehen:
Wenn nur eine der Zahlen (mindestens eine) negativ ist, hat das kgV noch einen gemeinsamen "Primfaktor" (-1), somit ist das kgV ebenfalls negativ. Die Rechnung selbst gestaltet sich in der Folge wie vordem.

mY+

18.10.2010, 23:33

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn man will, kann man so vorgehen: Wenn nur eine der Zahlen (mindestens eine) negativ ist, hat das kgV noch einen gemeinsamen "Primfaktor" (-1), somit ist das kgV ebenfalls negativ.

Nein, das stimmt nicht! Du hast doch nicht ohne Grund den Begriff Primfaktor in Anführungsstriche gesetzt. $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} 1=(-1)\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ eine Einheit, d.h. besitzt in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein mulitplikativ Inverses.
Damit ist $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ genau wie $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nach Definition nicht prim. Stattdessen gibt es zwei gleichberechtigte kgV und ggT. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wird man meistens kgV und ggT positiv wählen.

18.10.2010, 23:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte meinen Beitrag als Erweiterung, obwohl ich mir bewusst bin, dass die Sache etwas problematisch ist. Solche Dinge finden eigentlich prinzipiell nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ statt.

mY+

19.10.2010, 00:00

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es gibt nur schon eine allgemein anerkannte Erweiterung.
Im Grunde kann man in jeder kommutativen Halbgruppe mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , die die Kürzungsregel $\begin{eqnarray*} ab = ac \Rightarrow b = c \end{eqnarray*}$ erfüllt, von Teilbarkeit sprechen.
Zumindest in euklidischen Ringen ist die Existenz von ggT und kgV sichergestellt.

Die Erweiterung ist dabei, dass ein kgV zum einen gemeinsames Vielfaches sein muss und zum anderen jedes andere gemeinsame Vielfache teilt.
Ein ggT ist zum einen gemeinsamer Teiler und zum anderen Vielfaches von jedem anderen gemeinsamen Teiler.

Man kann zeigen, dass ggT und kgV bis auf Einheiten (das sind in unserem Fall $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ ) eindeutig sind.

Für die Aufgabe ist weiterhin entscheident:

Zitat:

Das Vorzeichen ändert nichts an der Teilbarkeit

Neue Frage »

Antworten »

kgV mit negativen Zahlen?

Verwandte Themen