Ungleichung mit 2 unbekannten.

18.10.2010, 22:50	Resi & Chris	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit 2 unbekannten. Meine Frage: Die Aufgabe Lautet: Sei M ein total angeordneter Korper. Man zeige fur x; y Element M und 0<x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ y: $\begin{eqnarray} x^2\leq((2xy)/(x+y))^2\leq xy\leq ((x+y)/2)^2\leq y^2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe schon versucht, nach einer Seite aufzulösen, jedoch bin ich daran gescheitert. Wie siehts aus, wenn man aus der einen Gleichung zwei Gleichungen macht?? edit(Abakus): x eingefügt
18.10.2010, 23:04	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit 2 unbekannten. Hallo! Behauptet werden 4 (recht bekannte) Ungleichungen (nein, keine Gleichungen!). Beweise also zB jede einzeln. Grüße Abakus
18.10.2010, 23:13	Resi & Chris	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, natürlich meinte ich Ungleichungen. Aber danke für den Tipp. Ich werd es mal so probieren.
19.10.2010, 21:00	Resi & Chris	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich habe jetzt ((2xy)/(x+y))^(2)kleiner gleich ((x+y)/2)² aufgelöst. da kommt bei mir aber der Ausdruck y kleiner gleich x raus. Irgendwas kann da nicht stimmen, oder?
19.10.2010, 21:15	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Es reicht sicherlich, wenn du die Quadrate weglässt, denn x und y sind beide positiv. Welche Umformungen hast du genau gemacht? Ansonsten, wieso zeigst du nicht folgendes: $\begin{eqnarray} (\frac{2xy}{x+y})^2\leq xy \end{eqnarray}$ Grüße Abakus
19.10.2010, 22:03	Resi & Chris	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja. Ich bin wie folgt vorgegangen... $\begin{eqnarray} \left(\frac{2xy}{x+y} \right) \leq \left(\frac{x+y}{2} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4xy\leq (x+y)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4xy\leq x^{2}+2xy+y^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2xy\leq x^{2}+y^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq x^{2} -2xy+y^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq (x-y)^{2} \end{eqnarray}$ naja und wenn mans jetz noch auflöst, dann ist y kleiner x...
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19.10.2010, 22:47	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ok, ggf. fehlen Äquivalenzpfeile noch (das Quadrat ist immer positiv, daher korrekte Aussage). Allerdings nützt dir das wenig, zeigen müsstest du jedes einzelne "<=" in deiner Ungleichungskette, also: 1. Term <= 2. Term dann: 2. Term <= 3. Term usw. Grüße Abakus

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