Beweis einer Ungleichung von Normalverteilung

19.10.2010, 09:17	annabellasky	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung von Normalverteilung Meine Frage: Hi alle! Ich habe eine Frage nach meiner neuer Aufgaben. $\begin{eqnarray} N_{a,\sigma^2}(x) \end{eqnarray}$ definiert als die Normalverteilung mit Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f_{a,\sigma^2}(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$ . Jetzt haben wir eine Ungleichung, die zeigen wir müssen. $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sigma\eta}{\sigma^2+\eta^2}\exp\left(-\frac{\eta^2}{2\sigma^2}\right)<N_{0,\sigma^2}([\eta,+\infty))<\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sigma}{\eta}\exp\left(-\frac{\eta^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zuerst denke ich, dass vielleicht man mit der Tschebyschow-Ungleichung arbeiten kann. Aber noch nicht. Der linken bzw rechten Seite kann man umschreiben als: $\begin{eqnarray} LHS=f_{0,\sigma^2}(\eta)\cdot \frac{\sigma^2\eta}{\sigma^2+\eta^2}\\<br /> RHS=f_{0,\sigma^2}(\eta)\cdot \frac{\sigma^2}{\eta} \end{eqnarray}$ Dann kann ich leide nicht weiter machen...
19.10.2010, 19:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer Ungleichung von Normalverteilung Man könnte das mit der asymptotischen Entwicklung der Normalverteilung beweisen, falls ihr die gehabt habt.
19.10.2010, 20:14	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur rechten Seite: Für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \leq \left( 1 + \frac{\sigma^2}{x^2} \right) \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \end{eqnarray}$ , anschließend das ganze über $\begin{eqnarray} [\eta,\infty) \end{eqnarray}$ integrieren, versehen noch mit Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} N_{0,\sigma^2}([\eta,+\infty)) \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma} ~ \int\limits_{\eta}^{\infty} \left( 1 + \frac{\sigma^2}{x^2} \right) \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) ~ \dd x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma} \left[ -\frac{\sigma^2}{x} \cdot \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \right]_{x=\eta}^{\infty} \end{eqnarray}$ .
20.10.2010, 14:25	zhencui1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Leide haben wir asymptotischen Entwicklung nicht gehabt.....Danke für den Hinweis zur rechten Seite. Aber für das Linken Seite wird es noch Problem....
20.10.2010, 15:22	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der geht es so ähnlich: Leite einfach mal den "Zielterm" $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sigma\eta}{\sigma^2+\eta^2}\exp\left(-\frac{\eta^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ ab und überlege dir, wie du diese Ableitung abschätzungsmäßig mit der entsprechenden Normalverteilungsdichte vergleichen kannst.

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