Mengen

19.10.2010, 10:15

Madame

Mengen

Meine Frage:
Hallo.
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht ganz weiterkomme. Vielleicht kann mir jemand helfen?!
Die Aufgabe lautet:

Seien A,B Mengen reeller Zahlen (R). Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) A $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ B äquivalent R\B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ R\A
(ii) A=A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B äquivalent B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A.

Meine Ideen:
Meine Idee:

Zur (ii):
Da es sich um eine Äquivalenz handelt, muss ich zwei Richtungen zeigen.

1.) erste Richtung:

A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = A
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B= A

2.) zweite Richtung:

B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A
Es gilt also für ein x
$\begin{eqnarray*} \left\{x| x aus B teilmenge A\right\} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \left\{ x| x aus B und x aus A\right\} \end{eqnarray*}$
Also ist x aus B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ A
Und das ist das gleich wie A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = A

zu (i) habe ich noch keine Idee

Vielen Dank für eure Hilfe
liebe Grüße
Madame

19.10.2010, 10:38

klarsoweit

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RE: Mengen
Also ehrlich gesagt verstehe ich deine Beweisschritte nicht. Fangen wir mal mit

Zitat:

Original von Madame
1.) erste Richtung:

A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = A
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B= A

an. Warum sollte aus $\begin{eqnarray*} A \cup B =A \end{eqnarray*}$ folgen, daß $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \vee B = A \end{eqnarray*}$ ist?
Das erste ist eh selbstverständlich.

20.10.2010, 13:26

Madame

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RE: Mengen
Mh ja, das war in det Tat nicht ganz logisch. ich versuchs einfach nochmal.

Also ich zeige A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B äquivalent B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A

1.) erste Richtung.

Es gilt A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B

Sei x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A.
Wegen A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B gilt dann auch x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B.
Daraus folgt dann, dass x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A oder x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B.

Ich sehe jetzt aber nicht, wie ich daruf kommen kann, dass B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A.
Was muss ich nun dafür tun?

2.) zweite Richtung

Es gilt B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A.

Sei x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B. Dann folgt x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A oder x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B.
Nach Voraussetzung gilt dann, dass x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A, da A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B.
D.h. aus x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B folgt x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A.
Somit folgt A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B.

Ist das soweit korrekt?

Liebe Grüße

20.10.2010, 14:13

klarsoweit

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RE: Mengen

Zitat:

Original von Madame
Ich sehe jetzt aber nicht, wie ich daruf kommen kann, dass B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A.
Was muss ich nun dafür tun?

Nimm $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ und zeige mittels der Voraussetzung, daß dann auch $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Madame
2.) zweite Richtung

Es gilt B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A.

Sei x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B. Dann folgt x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A oder x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B.
Nach Voraussetzung gilt dann, dass x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A, da A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B.

Da hast du dich verhaspelt. Wegen $\begin{eqnarray*} B \subset A \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ , daß auch $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ist. Insgesamt ist also $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \subset A \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Madame
D.h. aus x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B folgt x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A.
Somit folgt A= A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B.

Ungenaue bzw. fehlende Begründung. Erstmal folgt nur (wie oben dargelegt), daß $\begin{eqnarray*} A \cup B \subset A \end{eqnarray*}$ ist. Da aber generell gilt, daß $\begin{eqnarray*} A \subset A \cup B \end{eqnarray*}$ ist, folgt $\begin{eqnarray*} A = A \cup B \end{eqnarray*}$ .

Tipp: man darf auch Buchstaben in den Latexcode schreiben. Augenzwinkern

20.10.2010, 15:01

Madame

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RE: Mengen
Okay, danke für deine Hilfe. Den Rest schaff ich alleine und über die andere Aufgabe denke ich nochmal nach.

.... Big Laugh

okay, ich werde mir deinem tipp fürs nächste mal merken Augenzwinkern

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Mengen

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