Verständnissfragen zum Banachscher Fixpunktsatz

19.10.2010, 11:43

Chris1212

Verständnissfragen zum Banachscher Fixpunktsatz

Meine Frage:
Satz: Eine Funktion f bildet das Intervall $\begin{eqnarray*} I=[c,d] \end{eqnarray*}$ in sich ab, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)\in I \end{eqnarray*}$ [Selbstabbildungsvorraussetzung]

Außerdem sei $\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq q < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ [Ableitungsvorraussetzung]

Dann besitzt $\begin{eqnarray*} f in I \end{eqnarray*}$ genau einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ und die Iteriertenfolge $\begin{eqnarray*} x_{k+1}=f(X_k) \end{eqnarray*}$
Konvergiert für jeden Startwert $\begin{eqnarray*} X_0\in I \end{eqnarray*}$
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Anmerkung:
Das Bezugsintervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stell das Hauptproblem des Satzes dar. Aber sofern $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ eine monotone Funktion ist,lassen sich die Vorraussetzungen relativ leicht prüfen und eingeeignetes Intervall bennenen.
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Beispielaufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }+\frac{8}{9}*x+2 = 0 \end{eqnarray*}$

Monotonie überprüfung:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{4} * \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9} \end{eqnarray*}$ -> Streng Monoton wachsend

Überprüfung der Ableitungsbedingung:
$\begin{eqnarray*} |f(x)|=f'(x)=\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }} = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }} = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = \frac{81}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde x = 10.125 \end{eqnarray*}$

Untere Grenze im Intervall C kann somit bestimmt werden:
$\begin{eqnarray*} x > \tilde x \end{eqnarray*}$ damit $\begin{eqnarray*} f'(x)<1 \end{eqnarray*}$ bleibt
C = 11 wäre geeignet

Meine Ideen:
Frage 1: Dient das Intervall $\begin{eqnarray*} I =[c,d] \end{eqnarray*}$ dazu um einen geeigneten Startwert $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ zu wählen damit die Iterationsfolge nicht unterbrochen wird? Also muss X_0 im Intervall liegen?

Frage 2: Die Ableitungsvorraussetzung lautet ja:

$\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq q < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$

Wieso wurde in dem Beispiel nur "= 1" gesetzt, ich denke f'(x) muss auch kleiner gleich q sein?

Frage 3: Wie bestimme ich die Obere Grenze?
Also wie man die Untere Grenze bestimmt glaube ich zu verstehen.
Mann muss einfach = 1 setzen nachdem man die Monotonie überprüft hat und nach X auflösen um die Zahl zu erhalten die F'(x) = 1 werden lässt um x so zu wählen das f'(x)<1 bleibt.

Aber wie mache ich das dann mit der Oberen Grenze?

Frage 4:
Was hat es mit der Selbstabbildungs vorraussetzung auf sich?
Ist das einfach nur die Überprüfung ob f(x) monoton ist?

19.10.2010, 11:51

tigerbine

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RE: Verständnissfragen zum Banachscher Fixpunktsatz
Hallo,

also die Idee ist doch, dass man den BFS anwenden möchte. Da muss man in den Satz schauen, was da alles gefordert wird. [WS] Fixpunktiterationen

Theoretisch schön, aber wie weißt man das praktisch nach. Da sagt schon die Anmerkung, dass es das Hauptproblem ist, die Selbstabbildung nachzuweisen.

Zitat:

Frage 1: Dient das Intervall $\begin{eqnarray*} I =[c,d] \end{eqnarray*}$ dazu um einen geeigneten Startwert $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ zu wählen damit die Iterationsfolge nicht unterbrochen wird? Also muss X_0 im Intervall liegen?

"Nein", nur so kann man überhaupt den BSF anwenden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq q < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$

Also zunächst mal soll hier so die Kontraktionseigenschaft sichergestellt werden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }+\frac{8}{9}*x+2 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich erst mal eine Frage. Wieso habt ihr gleich 0 gesetzt, wenn ihr einen Fixpunkt sucht?

19.10.2010, 12:02

Chris1212

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So lautetet die beispiel Aufgabe.
Wir haben eine Aufgabe in Nullstellenform bekommen und sollen die Nullstelle Iterrativ mittels dem banachschen fixpunktsatz ermitteln.

19.10.2010, 12:14

tigerbine

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Also gesucht ist x* mit

$\begin{eqnarray*} f(x^*):=\sqrt{\frac{x^*}{2} }+\frac{8}{9}x^*+2 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Verwundert mich etwas. Die Definitionsmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+_0 \end{eqnarray*}$ . Da sehe ich nun für eine Nullstelle schwarz.

Mit einem Fixpunkt sieht das schon anders aus.

19.10.2010, 12:26

Chris1212

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Also unsere Anfangsaufgabe war:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }-\frac{1}{9}*x+2 = 0 \end{eqnarray*}$

Das ganze musste dann natürlich in Fixpunktform übertragen werden mit:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }-\frac{1}{9}*x+2 = 0 \end{eqnarray*}$ + x

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }+\frac{8}{9}*x+2 = x \end{eqnarray*}$

Als Startwert wurde $\begin{eqnarray*} X_0 = 100 \end{eqnarray*}$ gewählt.
Danach wird die Iterration begonnen.

So das war unsere Beispielrechnung und danach folgte auf Blatt zwei alles was ich ab Anmerkung: geschrieben habe.

So wie ich das verstandenhabe, wurde da ja überprüft ob man bei dieser Aufgabe den BFS anwenden kann.

Dazu muss ja die Funktion die ich für den BFS benutze auf die Monotonie überprüft werden.

Weshalb die Funktion = 0 gesetzt wurde.

19.10.2010, 12:32

tigerbine

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Ich muss nun weg. Vielleicht macht wer anders weiter. Wink

19.10.2010, 12:42

Chris1212

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So habe gerade ein wenig gegoogelt und das gefunden:

Proposition 2.10 (Banachscher Fixpunktsatz)
Sei g : [a, b] 7→ [a, b] eine Kontraktion.
• Dann gibt es genau ein ¾ ∈ [a, b] mit g(¾) = ¾.
• F¨ur beliebiges x 0 in [a, b] konvergiert x n+1 = g(x n ) gegen diesen Fixpunkt ¾.

Wenn da steht für ein beliebiges x_0 im Intervall konvergiert x n+1 bedeutet das doch das ich mein Startwert für die Iteration wohl doch aus dem Intervall wählen muss.

19.10.2010, 19:07

tigerbine

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Ja sicher muss der Startwert aus dem Intervall sein. Deswegen suchen wir ja so ein Intervall, wo die Funktion gewissen Eigenschaften genügt. Augenzwinkern

Wollen wir nun deine Aufgabe ein mal selber rechnen? Oder ist nun alles klar?

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